Примеры выполнения задания Д-2

Пример Д-2.1. Дано:

,

Найти уравнение вращательного движения колеса 2, окружное усилие S в точке касания колес 1 и 2 и натяжение нити в момент t₁ = 3с (рис. 3.62).

Решение:

В данной задаче колеса 1 и 2 вращаются вокруг осей x₁ и x₂, а груз 3 совершает поступательное движение. Расчленим систему на составляющие тела и для каждого из них напишем дифференциальные уравнения движения.

На колесо 1 действуют движущая сила , сила тяжести , составляющие реакции подшипника и сила действия тела 2 на тело 1, разложенная на окружное усилие и нормальную реакцию .

Для колеса 1 имеем:

. (3.12)

К колесу 2 приложены сила тяжести , момент сил сопротивления , составляющие реакции подшипника , сила реакции нити , сила действия колеса 1 на колесо 2, разложенная на окружное усилие и нормальную реакцию колеса 1, при этом по величине .

Рис. 3.62. Расчетная схема к примеру Д-2.1

 

Для колеса 2 получим:

. (3.13)

К грузу приложены сила тяжести и реакция нити . Для груза 3 имеем

(3.14)

где ось z параллельна заданной оси и направлена в сторону движения груза 3.

Так как колеса 1 и 2 находятся в зацеплении, то

и .

Скорость и ускорение груза 3:

и .

В связи с тем что надо найти выразим через . Кроме того, известно, что Уравнения (3.12) - (3.14) запишутся:

; (3.15)

; (3.16)

. (3.17)

.

Умножая обе части уравнения (3.15) на r ₂, (3.16) на – , (3.17) – на и складывая левые и правые части полученных уравнений, будем иметь:

(3.18)

Подставляя числовые значения величин в (3.18), получим

= 0,86 + 0,17 .

Интегрируем это уравнение дважды:

Используя начальные условия задачи при t = 0 , определим постоянные интегрирования: .

Cледовательно,

рад.

Это и есть искомый закон вращения тела 2. Реакцию нити Т найдем из уравнения (3.17):

.

При t = 3с Т = 3205 Н.

Окружное усилие S найдем из (3.16):

.

При t = 3с S = 6824 Н.

Ответ: рад, Т = 3205 Н, S = 6824 Н.

 

Задание Д-3. Принцип Даламбера

3.3.1 Определение реакции осей вращающихся тел

Используя условия задания Д-2 (рис. 3.32 - 3.61, табл. 9) определить реакции осей вращающихся тел 1 и 2 (для ) с помощью принципа Даламбера. В вариантах, где имеется соприкосновение колес 1 и 2, дополнительно найти усилие в точке их касания.

Принцип Даламбера заключается в том, что в любой момент времени активные силы, приложенные к точкам рассматриваемой механической системы, реакции связей и силы инерции точек механической системы образуют уравновешенную систему сил. Сила инерции материальной точки (знак «минус» показывает, что направлены противоположно). Для твердого тела определяются главный вектор и главный момент сил инерции Известно, что если твердое тело совершает поступательное движение, то силы инерции имеют равнодействующую , приложенную в центре масс тела. Силы инерции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс, имеют главный вектор равный нулю, так как , поэтому силы инерции приводятся к паре сил, момент которой относительно оси вращения (z):

.

знак «минус» показывает, что и имеют противоположные направления.