МАТЕМАТИКА
Часть вторая
Учебно-методическое указание по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов-заочников первого курса
высшего профессионального образования
21.03.01(131000). 13.03.02(140400),
Краснодар
УДК
Составители: доцент Терещенко И.В., доцент Братчиков А.В., ассистент Егорова Л.В.
Математика. Учебно – методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов-заочников специальностей140211,140101,130503 факультета НГиЭ высшего профессионального образования. – Краснодар 2005. – 37 с.
В учебно-методических указаниях изложены программа дисциплины, варианты контрольных заданий, темы практических занятий, вопросы к зачету (или экзамену), рекомендуемая литература, приведены примеры выполнения и требования к оформлению контрольных работ.
Печатается по решению методического совета Кубанского государственного технологического университета.
Рецензенты: д-р техн. наук, профессор Вартумян Г.Т.
канд. техн. наук, доцент Данович Л.М.
© КубГТУ, 2005
Содержание
Введение. 3
1. Инструкция по работе с учебно–методическими указаниями. 3
2. Программа дисциплины. 4
3. Контрольные работы. 5
4. Задания на контрольную работу. 13
5 Содержание и оформление контрольных работ. 19
6 Темы практических занятий. 19
7. Вопросы для подготовки к экзамену (зачету) 20
8. Список рекомендуемой литературы.. 21
Введение
Инженер должен в области математики иметь представление:
- о математике как особом способе познания мира, общности ее понятий и
представлений;
- о математическом моделировании;
- об информации, методах ее хранения, разработки и передачи;
знать и уметь использовать:
- основные понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей и математической статистики, дискретной математики;
- математические модели простейших систем и процессов в естествознании и технике;
- вероятностные модели для конкретных процессов и проводить расчеты в рамках построенной модели;
иметь опыт:
- употребления математической символики для выражения количественных и качественных отношений объектов;
- исследования моделей с учетом их иерархической структуры и оценки пределов применимости полученных результатов:
- использования основных приемов обработки экспериментальных данных;
- аналитического и численного решения алгебраических уравнений;
- исследования, аналитического и численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений;
- аналитического и численного решения основных уравнений математической физики;
- программирования и использования возможностей вычислительной техники и программного обеспечения;
Цель курса «Математика»:
- дать студентам необходимую математическую подготовку для изучения общенаучных, общеинженерных и специальных дисциплин;
- привить студентам навыки логического и алгоритмического мышления;
- овладеть методами исследования и решения математических и прикладных задач по специальности;
- выработать умения самостоятельно расширять математические знания и применять их при анализе инженерных задач.
Инструкция по работе с учебно–методическими указаниями.
В разделе «Программа дисциплины» приведены темы и указывается, что необходимо знать в пределах каждой темы. В конце тем приводятся вопросы для самопроверки и литература из списка рекомендуемой литературы с указанием глав, страниц, где излагается материал темы.
Пример.
Литература: [2, гл.2 c. 3-9], [4, c. 143-162],
где 2 и 4 – порядковые номера литературных источников из списка рекомендуемой литературы.
Вариант контрольного задания выбирается по последней цифре шифра зачётной книжки. Последняя цифра шифра (0) соответствует 10 варианту в контрольном задании.Например, в 10 варианте выполняют следующие номера из предложенных заданий контрольной работы: 210,220,230 и так далее.
В разделе «Темы практических занятий» приводятся наименования практических занятий, которые будут проводиться в период экзаменационной сессии, и указывается литература для подготовки.
Программа дисциплины.
Тема 6. Функции нескольких переменных.
Функции многих переменных, их область определения. Частные производные. Наибольшее и наименьшее значения функции. Производная по направлению. Градиент. Метод наименьших квадратов.
Литература: [3, гл12 c. 284 – 304]
Вопросы для самоконтроля.
1. Вычисление частных производных функции многих переменных.
2. Вычисление производной по направлению.
3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.
4. Решение задач с помощью метода наименьших квадратов.
Тема 7 .Интегральное исчисление.
Неопределенный интеграл. Приближенное значение определенного интеграла. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла.
Литература: [3, гл7,8 с. 159-215].
Вопросы для самоконтроля.
1. Вычисление неопределенных интегралов..
2. Вычисление приближенного значения интеграла 
с помощью формулы Симпсона.
3. Вычисление несобственных интегралов первого и второго рода.
4. Определенный интеграл и его приложения.
Тема 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системыдифференциальных уравнений.
Литература:[3, гл15 с. 416-449].
Вопросы для самоконтроля.
1. Решение уравнений с разделяющимися переменными..
2. Линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядка..
3. Дифференциальные уравнения, не содержащие искомой функции.
4. Дифференциальные уравнения, не содержащие независимой переменной.
5. Решения систем дифференциальных уравнений.
Контрольные работы.
Программой дисциплины «Математика» для студентов I курса предусмотрено выполнение контрольных работ №3.
3.1. При выполнении контрольной работы №3 необходимо изучить функции многих переменных, интегральные исчисления и теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Ниже приведены примеры выполнения расчетов.
К заданиям 201-210.
Пример. Проверить, что 
для функции 
.
Решение. Находим частные производные второго порядка.
Получим тождество:
=
К заданиям 211-220. Н айти наибольшее и наименьшее значения функции 
в круге 
Решение: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области необходимо:
- Найти критические точки (лежащие внутри данной области) и вычислить в них значения функции.
- Найти наибольшее (наименьшее) значения функции на границе области.
- Сравнить все полученные значения функции.
Данная функция имеет частные производные: 
- критическая точка
Границей данной области является окружность 
или 
, где 
. Функция 
на границе области становится функцией одной переменной 
:
, аргумент которой изменяется на отрезке 
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции 
на указанном отрезке 
Вычисляем ее значения на концах отрезка , т.е. в точках 
Сравнивая значение, заключаем, что функция имеет наибольшее значение, равное 18 и наименьшее значение, равное -18, причем
К заданиям 221-230.
Пример.Даны функция 
, точка 
и вектор 
, найти:
а) 
в точке А;
б) производную в точке А по направлению вектора 
.
Решение:
а) Имеем 
Значит, 
б)Найдем направляющие косинусы вектора , 
Следовательно, 
К заданиям 231-240.
Дана система точек, координаты которых указаны в таблице, число точек n=6
Требуется методом наименьших квадратов найти функцию 
так, чтобы она отличалась как можно меньше от данной системы точек. Неизвестные коэффициенты находим из системы:
где 
В нашем случае система имеет вид 
Решим ее методом определителей:
Искомое уравнение 
К заданиям 241-250.
Пример. Найти неопределенные интегралы.
а) 
Подстановка 
. Тогда 
, откуда 
.
Таким образом, 
б) 
Применяем формулу интегрирования по частям 
Пусть 
, тогда 
Получаем 
К интегралу в правой части снова применяем формулу интегрирования по частям.
Пусть
Таким образом, 
в) 
Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, знаменатель которой 
Подынтегральную функцию разложим на дроби
, откуда
Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:
Приравнивая соответствующие коэффициенты при 
в левой и правой частях последнего равенства получим систему трех уравнений:
Таким образом, 
Решим отдельно интеграл
Итак,
г) 
Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому делаем подстановку
, 
, то есть
К заданиям 251-260. Пример. Вычислить приближенное значение интеграла 
с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 8 равных частей. Все вычисление производить с округлением до третьего десятичного знака.
Решение: Делим интервал [1;9] на 8 равных частей, находим длину одной части
h= 
,
точки деления 
значения 
подынтегральной функции 
В этих точках:
ё
По формуле Симпсона
.
К заданиям 261-270
Пример. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение: Подынтегральная функция терпит разрыв при х=3 
Согласно формуле 
Имеем 
Интеграл сходится и его величина составляет 
.
К заданиям 271 ‑ 280.
Пример. Вычислить длину дуги полукубической параболы 
между точками А(2;1) и B(5;-8).
Решение:
Длина дуги АВ определяется формулой 
Разрешаем данное уравнение относительно y и находим 
:
Подставляя в формулу, находим
К заданиям 281 ‑300.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Преобразуем уравнение к виду 
Сделав подстановку 
,т.е. y = u x,
Получим 
или 
Интегрируя, имеем:
, т.е. 
Отсюда 
, т.е. 
Учитывая, что 
, получаем общее решение заданного уравнения
2. 
Уравнение приводится к виду 
,где
- непрерывные функции.
Это уравнение Бернулли 
Полагаем 
. Получаем
или 
Решаем первое уравнение 
,
Разделяя переменные 
, т.е. 
Выбирая простейшие решения (С=0), находим 
Решаем второе уравнение
, где или
, т.е. 
, откуда
Таким образом, 
, где 
- общее решение дифференциального уравнения.
3. 
Положим y`=p=p(y). Тогда 
, а исходное уравнение примет вид:
Т.е. 
, откуда
Заменим p на y`, получим 
, или 
Получим общее решение исходного уравнения в неявном виде.
К заданиям 301-310.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения 
А) Найдем 
, решим соответствующее однородное уравнение 
, составим
характеристическое уравнение:
Тогда 
- общее решение однородного уравнения.
Б) Найдем у - частное решение неоднородного уравнения. Его будем искать в виде, подобном первой части. Там 
- это многочлен второй степени, в общем виде это
, т.е. 
. Так как 
есть решение первоначального дифференциального уравнения, то оно обращает это уравнение в тождество. Найдем
и подставим в первоначальное уравнение
Два многочлена равны, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных. Приравняем коэффициенты 
в обеих частях
Тогда 
Общее решение 
К заданиям 311-320.
Дана система линейных уравнений:
Найти общее решение систем с помощью характеристического уравнения
Решение: Составим характеристическое уравнение 
, где
- матрица системы,
- единичная матрица.
Имеем 
, или 
Его корни 
- характеристические числа матрицы.
При 
уравнения для определения собственного вектора имеют вид 
и
и сводятся к одному уравнению 
. Последнее определяет вектор (1;-2).
При 
получаем уравнения 
или 
Это уравнение определяет вектор (1;1). Поучаем фундаментальную систему решений:
Для : 
Для : 
Общее решение системы имеет вид:
К заданиям 321-330.
У какой кривой отрезок любой касательной, заключенный между точкой касания и осью абсцисс, делится осью ординат пополам?
Решение: Уравнение касательной в любой точке (x; y) искомой кривой будет 
, где 
- координаты любой точки на касательной.
Полагая в этом уравнении 
, найдем абсциссу 
точки пересечения касательной с осью Ох: 
Решая это дифференциальное уравнение искомой кривой как уравнение с разделяющимися переменными, получим 
Следовательно, искомая кривая есть парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси Ох.
Задания на контрольную работу.
Контрольная работа №3
Задание 1. Дана функция z=f(x;y). Показать, что F(x; y; z; 
) 
.
№201. 
, 
№202. 
№203. 
, 
№204. 
, 
№205. 
, 
№206. 
, 
№207. 
, 
№208. 
, 
№209. 
, 
№210. 
,
Задание 2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции 
в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
№211. 
; 
№212. 
; 
№213. 
, 
№214. 
№215. 
; 
, 
№216. 
, 
№217. 
, 
№218. 
; 
, 
№219. 
; 
, 
№220. 
; 
, 
Задание 3. Даны функция , точка 
и вектор 
.
Найти: 1) 
в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора 
.
№221. 
, A(1;1); 
№222. 
, A(-1;2); 
№223. 
, A(1;3); 
№224. 
A(1;1); 
№225. 
A(2;-1); 
№226. 
A(1;2); 
№227. 
A(4;-3); 
№228. 
A(-1;-2); 
№229. 
, A(-5;6); 
№230. A(2;3); 
Задание 4. Экспериментально получены пять значений функции 
при пять значениях аргумента, которые записаны в таблице:
| x | |||||
| y | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 |
Методом наименьших квадратов найти функцию вида 
, выражающую приближенную (аппроксимирующую) функцию . Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции .
№231. y|| 3,4 | 3,5 | 3,1 | 1,2 | 2,4 |
№232. y|| 0,6 | 1,6 | 3,7 | 5,2 | 6,4 |
№233. y|| 4,7 | 5,5 | 4,0 | 2,1 | 2,7 |
№234. y|| 4,8 | 5,3 | 4,2 | 3,8 | 2,3 |
№235. y|| 3,9 | 5,1 | 3,3 | 1,5 | 2,3 |
№236. y|| 5,7 | 6,7 | 4,9 | 3,4 | 3,9 |
№237. y|| 5,2 | 6,3 | 4,8 | 2,7 | 1,8 |
№238. y|| 5,1 | 4,8 | 5,2 | 2,9 | 2,1 |
№239. y|| 4,5 | 2,5 | 0,5 | 3,5 | 1,6 |
№240. y|| 3,6 | 4,5 | 3,2 | 1,3 | 1,8 |
Задание 5. Найти неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием.
№241. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
№242. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
№243. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
№244. а) 
; б) 
; в) 
г) 
№245. а) 
б) 
; в) 
; г) 
.
№246. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
№247. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
№248. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
№249. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
№250. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Задание 6. Вычислить приближенные значения определенного интеграла 
с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
№251. 
№255. 
№259. 
№252. 
№256. 
№260. 
№253. 
№257. 
№254. 
№258. 
Задание 7. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
№261. 
№266. 
№262. 
№267. 
№263. 
№268. 
№264. 
№269. 
№265. 
№270. 
Задание 8.
№271. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
вокруг оси Oy.
№272. Вычислить длину дуги кривой 
от точки 
до точки 
.
№273. Вычислить площадь фигуры, ограниченно линиями, заданными уравнениями 
, 
.
№274. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой 
.
№275. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, 
вокруг оси Ox.
№276. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
№277. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой 
, 
№278. Вычислить длину дуги кривой 
от точки А(1;0) до точки B(2;1).
№279. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 
вокруг оси Oy.
№280. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 
, 
вокруг оси Oy.
Задание № 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.
№ 281. 
№ 282. (1+ x 
) 
- 2 xy= (1+ x )
№ 283. = 
№ 284. x = y ln (
)
№ 285. x + x tg 
№ 286. + y cos = sin 2x
№ 287. + 2xy = 2xy 
№ 288. 
№ 289. x + y = 4x
№ 290. - y= 
Задание 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.
№291. (1- x 
x
№ 292. (1+ ()
№ 293. 1+( ) 
№ 294. x 
№ 295. 
№296. 
№297. 
№298. 
№299. 
№300. 
Задание 11. Найти частное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее условиям 
, 
.
№301. 
, 
№302. 
, 
№303. 
, 
№304. 
y (0) =0, 
№305. 
, y (0)= 1, 
№306. 
y (0) =0,
№307. 
y (0) = 1, 
№308. 
№309. 
№310. 
Задание 12. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Требуется: 1) Найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения;
2) записать данную систему и её решение в матричной форме.
№311.
№312.
№313.
№314.
№315.
№316.
№317.
№318.
№319.
№320.
Задание 13.
№321. Пуля, двигаясь со скоростью 
м/с, ударяется о достаточно плотную стену и начинает углубляться в нее, испытывая силу сопротивления стены; эта сила сообщает пуле отрицательное ускорение, пропорциональное квадрату её скорости с коэффициентом пропорциональности 
. Найти скорость пули через 0,001 с после вхождения пули в стену.
№322. Материальная точка массой 
г движется прямолинейно. На нее действует сила в направлении движения, пропорциональная времени с коэффициентом пропорциональности 
, и сила сопротивления среды, пропорциональная скорости с коэффициентом пропорциональности 
. Найти скорость точки через 3 секунды после начала движения, если начальная скорость точки была равна нулю.
№323. В сосуде 100 л водного раствора соли. В сосуд втекает чистая вода со скоростью 
, а смесь вытекает с той же скоростью, причем перемешивание обеспечивает равномерную концентрацию раствора. В начальный момент в растворе содержалось 
кг соли. Сколько соли будет содержаться в сосуде через 20 мин после начала процесса?
№324. Кривая проходит через точку A(2;1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой её точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности 
. Найти уравнение кривой.
№325. Материальная точка массой 
г погружается в жидкость, сила сопротивления которой пропорциональна скорости погружения с коэффициентом пропорциональности 
кг/с. Найти скорость точки через 1с после начала погружения, если в начальный момент она была равна нулю.
№326. Моторная лодка двигалась в спокойной воде со скоростью 
кг/ч. На полном ходу её мотор был выключен и через 10 секунд скорость лодки уменьшилась до 
км/ч. Сила сопротивления воды пропорциональна скорости движения лодки. Найти скорость лодки через 1 минуту после остановки мотора.
№327. Кривая проходит через точку А(1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой точки, проведённой в этой же точке, с коэффициентом пропорциональности . Найти уравнение кривой.
№328. Кривая проходит через точку A(1;2) и обладает тем свойством, что произведение углового коэффициента касательной в любой её точке на сумму координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки. Найти уравнение кривой.
№329. Кривая проходит через точку А(2;4) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой.
№330. Кривая проходит через точку А(1;5) и обладает свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен утроенной абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой.
Содержание и оформление контрольных работ
4.1. Требования к оформлению контрольной работы: в случае рукописного варианта контрольная работа выполняется в тетради (12л.) на обложке необходимо указать № к.р., свой факультет, специальность, ши
