О геометрии Лобачевского и аксиоматике евклидовой геометрии

Лекция №20

По математике

Тема: «Из истории возникновения и развития геометрии»

План:

Введение 1

1. Возникновение геометрии 1

2. О геометрии Лобачевского и аксиоматике евклидовой геометрии 4

 

Введение

Из истории возникновения и развития геометрии.

В последние годы наметилась тенденция к включению значительного по объему геометрического материала в начальный курс математики. Но для того, чтобы учитель мог познакомить учащихся с различными геометрическими фигурами (как плоскости, так и пространства), мог научить их правильно изображать геометрические фигуры, ему нужна соответствующая математическая подготовка. Безусловно нужны знания об истории возникновения и развития геометрии, так как ученик в процессе развития геометрических представлений проходит, в свернутом виде, основные этапы создания геометрической науки. Учитель должен быть знаком с ведущими идеями курса геометрии, знать основные свойства геометрических фигур, уметь их построить.

В освоении этого материала учителю поможет данная глава пособия. В ней с учетом подготовки, полученной студентами в школьном курсе математики, представлен геометрический материал, необходимый для обучения младших школьников элементам геометрии.

 

Возникновение геометрии.

Геометрия зародилась в Древнем Египте как набор правил решения практических задач, возникавших в строительстве, при распределении земельных участков, измерении площадей, объемов и других величин. Свидетельством этому являются египетские пирамиды, построенные около 4800 лет назад, их строительство требовало достаточно сложных и точных геометрических расчетов. Но особенно важной была задача распределения земельных наделов. Этим занимались специальные люди - землемеры, которых греки называли гарпедонаптами, т.е. натягивателями веревок, так как при распределении земли использовались веревки. Но чтобы знать, где и как их натягивать, надо было иметь план полей. Так практическая задача распределения участков земли привела к возникновению науки о землемерии.

Обширные сведения о свойствах фигур, накопленные египтянами, были заимствованы греками. Произошло это в VII-V в.в. до н.э. А так как особенно важной задачей было землемерие, то греки назвали науку о фигурах геометрией, так как с греческого «геос» - земля, а «метрио» - измеряю.

К сказанному можно добавить, что многие геометрические понятия возникли в результате многократных наблюдений реальных предметов той или иной формы, т.е. познавая окружающий мир, люди знакомились и с простейшими геометрическими формами. Овладению этим знанием способствовало изготовление орудий, имеющих сравнительно правильную геометрическую форму, строительство жилья, шитье одежды, изготовление посуды, украшений.

Огромное влияние на развитие геометрических представлений оказали систематические астрономические наблюдения. Они способствовали возникновению понятий шара, окружности, угла, угловой меры.

Развитие землемерия, обобщение накопленного опыта наблюдений привело к созданию практических правил измерения земельных участков, нахождения площадей и объемов простейших фигур, правил, необходимых для строительства, и др. Так, формулы для вычисления площадей земельных участков, имеющих форму треугольника, трапеции, встречаются у древних египтян, вавилонян. К XVII-XVI вв. до н.э. были установлены такие ее факты, как теорема Пифагора, найдено выражение для подсчета объема шара и многие другие. Но выступали они не как логически доказанные утверждения, а как выводы из опыта.

Таким образом, геометрия возникла как прикладная наука, как собрание правил, необходимых для решения практических задач: сравнения фигур, нахождения геометрических величин, простейших геометрических построений.

Практические правила постепенно приводились в систему. Кроме того, одни правила стали выводиться из других и обосновываться посредством рассуждений. Возникло доказательство, правила стали превращаться в теоремы, которые

доказывались без прямых ссылок на опыт. Вообще совершенствование геометрических знаний шло по пути их отделения от опыта - в результате предметом геометрии стали не реальные, а идеальные фигуры, т.е. фигуры, являющиеся образами предметов, в которых абстрагируются от всего, кроме формы. Более того, эти фигуры стали дополняться свойствами, которыми реальные предметы не обладают. Например, понятие прямой, возникшее как отражение такого свойства реальных предметов, как протяженность, было дополнено представлением о ее бесконечности.

Получение новых геометрических утверждений при помощи рассуждений относится к VI в. до н.э. и связано с именем древнегреческого математика Фалеса. Считают, что им доказаны свойства равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов и ряд других фактов.

К III в. до н.э. геометрия становится дедуктивной наукой, одновременно решая многие практические задачи: дает точно обоснованные правила для построения фигур с заданными свойствами, позволяет различными способами сравнивать фигуры, по одним свойствам фигуры делать выводы о других ее свойствах и т.д.

Основные достижения в области математики были систематизированы около 300 лет до н.э. греческим ученым Евклидом и изложены в его знаменитом труде «Начала», состоящем из тринадцати книг. Это сочинение является первым дошедшим до нас строгим логическим построением геометрии.

Каждая книга «Начал» начинается с определений основных понятий. Так, в книге по геометрии 35 определений. Среди них определения точки, линии, прямой, поверхности.

Точка есть то, что не имеет частей.

Линия есть длина без ширины.

Прямая линия есть та, которая одинаково лежит относительно всех своих точек.

Поверхность есть то, что имеет длину и ширину.

Кроме перечисленных даются определения плоского и прямого углов, перпендикуляра, тупого и острого углов, круга, окружности, треугольника и его видов, четырехугольника и его видов и др. Завершает этот список определение параллельных прямых: «Параллельные прямые суть те, которые лежат в одной плоскости и, будучи продолженными в обе стороны, нигде не встречаются».

За определениями следует пять постулатов следующего содержания. Требуется, чтобы:

1) от каждой точки до каждой другой можно было провести прямую;

2) ограниченную прямую можно было продолжить неопределенно;

3) из любого центра можно было описать окружность любым радиусом;

4) все прямые углы были равны;

5) если две прямые при пересечении с третьей образуют с одной стороны внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, то эти прямые пересекались бы при достаточном продолжении с этой стороны.

Затем формулировались аксиомы:

1) равные одному и тому же третьему также равны и между собой;

2) если к равным прибавить равные, то целые будут равны;

3) если от равных отнять равные, то полученные остатки будут равны;

4) совмещающиеся друг с другом равны;

5) целое больше своей части.

Видим, что начальные определения евклидовой геометрии -это описания ее основных объектов: точки, прямой, плоскости, угла и т.д. Постулаты выражают возможность основных построений. При этом прямая мыслится как непрерывная, неограниченно делимая, но не состоящая из точек, что соответствует наглядному представлению - прямую проводят по линейке, а не строят по точкам. Аксиомы, сформулированные Евклидом, относятся к величинам: длине отрезка, величине угла, площади фигуры. У Евклида «равные» понимались как «равновеликие».

За постулатами и аксиомами, которые рассматривались как утверждения, принимаемые без доказательств, формулировались теоремы и задачи на построение. Они располагались в строгой последовательности так, что каждое последующее опирается на предыдущее, а также на постулаты и аксиомы.

Определения, постулаты, аксиомы и дальнейшие выводы в геометрии Евклида имели наглядный, опирающийся на практику смысл, хотя выражали его в идеализированном, абстрактном виде.

Таким образом, геометрия сложилась как наука о пространственных формах и отношениях, рассматриваемых отвлеченно от их математического содержания. В Древней Греции она сформировалась в абстрактную логическую систему, в основе которой лежат первоначальные понятия и аксиомы, новые факты формулируются в виде теорем и выводятся дедуктивным способом, а каждое новое понятие вводится с помощью определения на основе ранее введенных понятий.

«Начала» Евклида оставили глубокий след в истории и в течение многих веков служили образцом научного изложения математики.

 

 

О геометрии Лобачевского и аксиоматике евклидовой геометрии

После III в. до н.э. геометрия развивалась медленно - требовались новые идеи и методы, необходимо было развитие понятия, числа и алгебры. Первые шаги в этом направлении были сделаны в Греции (работы Диофанта, III в.), а затем в Индии, где были открыты десятичная система счисления, отрицательные и иррациональные числа.

В IX в. благодаря работам Мухаммеда аль -Хорезми дальнейшее развитие получила алгебра. Позже таджикский поэт и ученый Омар Хайям (конец XI - начало XII в.) дал определение числа как отношения любых величин. Через 600 лет это же определение было дано Ньютоном во «Всеобщей арифметике». В геометрии новые идеи и методы появились в XVII в. Они были обусловлены развитием алгебры и созданием математического анализа. Принадлежали эти идеи французскому философу и математику Рене Декарту. В своем сочинении «Геометрия» он впервые представил метод координат на плоскости, установив тем самым взаимосвязь геометрии с алгеброй.

Важным направлением в развитии геометрии был поиск логически безупречного построения геометрии. Дело в том, что аксиоматически построенная теория должна удовлетворять определенным требованиям математической строгости. Они не абсолютны и в разные периоды истории были различными. Эти требования заставили обратить особое внимание на пятый постулат геометрии Евклида - его трудно было принять очевидным, как остальные аксиомы и постулаты. Поэтому возникло стремление вывести его из остальных постулатов и аксиом. Однако попытки, которые длились более двух тысяч лет, были безуспешными, хотя и сыграли положительную роль в развитии геометрии, так как были сформулированы и доказаны теоремы, раскрывающие новые свойства геометрических фигур.

Переворот в геометрии произошел в начале XIX в., когда несколько ученых пришли к мысли о существовании геометрии, отличной от евклидовой. Первым, кто построил эту геометрию, был Н. И. Лобачевский, профессор Казанского университета. Его рассуждения сводились к следующему.

Рассмотрим в плоскости прямую а и проведем из точки А перпендикуляр АС к прямой а и луч АВ, перпендикулярный АС (рис. 1).

Рис.1

 

Возьмем некоторую прямую AM, пересекающую прямую а в точке М. При неограниченном удалении точки М по прямой а прямая AM будет приближаться к некоторому предельному положению. Логически могут представиться две возможности:

а) луч AM совпадает с лучом АВ;

б) луч AM составит с лучом А В некоторый острый угол.

Случай а) соответствует аксиоме параллельности: АВ - единственная прямая, проходящая через А и не пересекающая а.

Допуская, что имеет место случай б), Лобачевский начал выводить различные следствия из этого допущения, надеясь, что рано или поздно придет к противоречию, чем и завершится доказательство. Однако, доказав несколько десятков теорем, он так и не обнаружил логических противоречий. И тогда Лобачевский высказал мысль: если заменить пятый постулат его отрицанием (т.е. принять, что через точку вне прямой можно провести более одной прямой, ей параллельной) и сохранить все остальные аксиомы евклидовой геометрии, то получим новую геометрию, которую он назвал «воображаемой», а позднее она была названа его именем - геометрией Лобачевского.

Все теоремы, доказываемые в евклидовой геометрии без использования пятого постулата, сохраняются и в геометрии Лобачевского. Например, вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны; из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр. Теоремы же, при доказательстве которых применяется пятый постулат, в геометрии Лобачевского видоизменяются, например сумма величин внутренних углов любого треугольника меньше 180°, не существует подобных треугольников: если углы двух треугольников соответственно равны, то эти треугольники равны. Так как в геометрии Лобачевского сумма внутренних углов четырехугольника меньше 360°, то в ней не существует прямоугольников. Позже было доказано, что аксиоматика, предложенная им, независима и непротиворечива.

Открытие, сделанное Н. И. Лобачевским, сыграло огромную роль в развитии математики и физики. В его работах была не только полностью решена проблема независимости аксиомы параллельности от других аксиом евклидовой геометрии, но и было показано, что аксиомы могут подвергаться изменению, что привлекло внимание ученых к вопросам аксиоматики геометрии. Кроме того, было установлено, что геометрия Лобачевского точно описывает взаимосвязь пространства и времени, открытую А. Эйнштейном в теории относительности.

После открытия Н. И. Лобачевского стало ясно, что пятый постулат (аксиома параллельности) не может быть исключен из списка аксиом и постулатов, сформулированных Евклидом. Общая тенденция к повышению строгости построения математических теорий во второй половине XIX в. сказалась и в геометрии. Она выразилась в стремлении дополнить систему аксиом евклидовой геометрии, включив в нее все предложения, которые неявно использовались при доказательстве теорем.

Итог всем исследованиям в этой области подвел крупнейший немецкий математик Д. Гильберт. Произошло это в конце XIX столетия. В своей книге «Основания геометрии» он дает полный список аксиом евклидовой геометрии и доказывает непротиворечивость этой аксиоматики. Сформулированные им аксиомы относятся к точкам, прямым, плоскостям и отношениям между ними, которые выражаются словами «принадлежит», «лежать между», «конгруэнтен». Что такое точка, прямая и плоскость и каков конкретный смысл указанных отношений, Гильберт не уточняет. Все, что предполагается известным о них, выражено в аксиомах. Они разбиты на пять групп.

Первая группа - аксиомы принадлежности. В них устанавливаются отношения между точками, прямыми и плоскостями.

1. Через две точки проходит одна и только одна прямая.

2. На каждой прямой лежат по меньшей мере две точки.

3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

В связи с данными тремя аксиомами сделаем одно замечание. Известно, что на прямой бесконечное множество точек, но в аксиоме 2 отмечается, что их по меньшей мере две. Поэтому бесконечность множества точек на прямой надо будет доказывать, исходя из аксиом первой и последующих групп.

Для построения планиметрии ограничиваются указанными аксиомами принадлежности. Для построения стереометрии к ним присоединяются следующие.

4. Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

5. Если две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, то и все точки этой прямой принадлежат указанной плоскости.

6. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку.

7. Существует по крайней мере 4 точки, не лежащие в одной плоскости.

Вторая группа - аксиомы порядка. Они определяют понятие «лежать между» и выражают свойства взаимного расположения точек на прямой и плоскости.

1. Если точка В лежит между точками А и С, то она лежит между точками С и А.

2. Для любых двух точек прямой А и В существует на этой прямой такая точка С, что точка В лежит между точками А и С.

3. Из трех точек на прямой не более чем одна лежит между двумя другими.

4. Пусть точки А, В и С не лежат на одной прямой, и прямая не проходит ни через одну из этих точек. Если при этом прямая а пересекает отрезок АВ (то есть проходит через точку, лежащую между точками А и В), то она пересекает один из отрезков ВС или А С.

Аксиомы первых двух групп позволяют определить понятие отрезка, луча, угла. Отрезок - это система двух точек А и В, принадлежащих прямой а. Точки, расположенные между Аи В, называются точками, лежащими внутри отрезка АВ, точки А и В называются концами отрезка АВ.

Луч с началом О- это совокупность всех точек прямой, лежащих с одной стороны от О.

Угол - это совокупность двух лучей с общим началом, лежащих на разных прямых.

Третья группа - аксиомы равенства (конгруэнтности). Они определяют равенство отрезков и углов.

1. На данной прямой по данную сторону от данной на ней точки можно отложить отрезок, равный данному, и притом единственным образом.

2. Два отрезка, порознь равные третьему, равны между собой.

3. Пусть на некоторой прямой точка В лежит между точками А и С и на некоторой другой или той же прямой точка В₁ лежит между двумя точками А₁ и С₁. Если при этом отрезок АВ равен отрезку А₁В₁ и отрезок ВС равен В₁С₁, то АС = А₁С₁.

4. По данную сторону от данного луча можно отложить данный угол и притом единственным образом.

5. Два угла, порознь равные третьему, равны между собой.

6. Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, А₁, В₁, С₁- тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом АВ = А₁В₁, ВАС = В₁А₁С₁ то ABC = А₁В₁С₁.

Четвертая группа состоит из аксиомы непрерывности.

1. Если все точки прямой произвольным образом разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса, тогда непременно либо в первом классе есть самая правая точка (и во втором нет самой левой), либо во втором классе есть самая левая точка (и в первом нет самой правой).

Образно говоря, в этой аксиоме утверждается, что прямая не имеет проколов, что она непрерывна. Действительно, если на числовой прямой выколоть только одну точку - нуль, то числа, соответствующие оставшимся точкам, разделятся на два класса: отрицательные и положительные. И в первом классе (среди отрицательных чисел) нет самого правого (самого большого), а во втором - самого левого.