Известно, что сложение и умножение чисел обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, умножение дистрибутивно относительно сложения. Аналогичными свойствами обладают объединение и пересечение множеств.
Рассмотрим свойства алгебраических операций, определив их в общем виде. При этом условимся алгебраические операции обозначать символами: * (читается - «звездочка») и ○ (читается - «кружок»).
Важнейшим свойством алгебраических операций является свойство ассоциативности.
Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множестве X, называется ассоциативной, если для любых элементов x,y и z из множества X выполняется равенство
(x*y)*z =x*(y*z).
Если операция * обладает свойством ассоциативности, то можно опускать скобки и писать x*y*z вместо (x*y)*z и х+(y*z).
Например, ассоциативно сложение натуральных чисел: для любых натуральных чисел х, у и z выполняется равенство (х + у) + z = х + (у + z). Ассоциативно сложение рациональных и действительных чисел. Поэтому сумму нескольких чисел можно записывать без скобок.
Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством ассоциативности. Так, не является ассоциативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х, у и z, для которых (х -у) – z ≠ х - (у - z). Например, (12 - 7) - 3≠ 12 - (7 - 3).
Ассоциативность алгебраической операции позволяет записывать без скобок все выражения, содержащие лишь эту операцию, но переставлять входящие в это выражение элементы, вообще говоря, нельзя. Перестановка элементов возможна лишь в случае, когда операция * коммутативна.
Определение. Алгебраическая операция * на множестве X называется коммутативной, если для любых двух элементов х и у из множества X выполняется равенство
х*у =у*х.
Примерами коммутативных операций могут служить сложение и умножение натуральных чисел, поскольку для любых натуральных чисел х и у выполняются равенства х + у = у + х, х∙у = у∙х. Эти равенства справедливы не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел, следовательно, на множестве действительных чисел сложение и умножение тоже коммутативны.
Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством коммутативности. Так, не является коммутативным вычитание целых чисел: существуют целые числа хну, для которых х – у ≠ у - х. Например, 12-7 ≠ 7-12.
Если на множестве X заданы две алгебраические операции * и ○, то они могут быть связаны друг с другом свойством дистрибутивности.
Определение. Алгебраическая операция ○ называется дистрибутивной относительно алгебраической операции *, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняются равенства:
1) (х*у) ○ z = (z○ x)*(z○ y) и 2) z○(х*z)=(z○х) *(z○у).
Если выполняется только равенство 1), то операцию ○ называют дистрибутивной справа относительно операции *; если же выполняется только равенство 2), то операцию ○ называют дистрибутивной слева относительно операции *.
Выясним, в каких случаях различают дистрибутивность справа и слева.
Рассмотрим на множестве натуральных чисел две операции возведение в степень (она соответствует операции ○ в равенствах 1 и 2) и умножение (она соответствует операции * в равенствах 1 и 2). Тогда, согласно равенству 1, имеем: (х∙у)z = хz∙уz. Как известно из алгебры, полученное равенство справедливо для любых натуральных чисел х,у и z, т.е. возведение в степень дистрибутивно справа относительно умножения. В соответствии с равенством 2, получаем xyz = xy∙xz. Но это равенство выполняется не всегда, т.е. операция возведения в степень не является дистрибутивной слева относительно умножения. Такая ситуация является следствием того, что возведение в степень - операция, не обладающая свойством коммутативности.
Если взять сложение и умножение натуральных чисел, то, как известно, умножение дистрибутивно относительно сложения: для любых натуральных чисел х, у и z выполняются равенства
(x + y) ∙z = x∙z + y∙z и z∙(x + y) = z∙x + z∙y.
А так как умножение коммутативно, то не имеет значения, где писать множитель z - справа от суммы х + у или слева от нее. Поэтому в школьном курсе математики не различают дистрибутивность слева и справа, а говорят просто о дистрибутивности умножения относительно сложения.
Выясним роль свойства дистрибутивности в преобразованиях выражений. Если операция о дистрибутивна относительно операции * и обе операции ассоциативны, то в любом выражении, содержащем лишь эти две операции, можно раскрыть все скобки, перед которыми (или за которыми) стоит знак ○. Проиллюстрируем сказанное на примере преобразования выражения (х + y) ∙ (z + p). Так как умножение дистрибутивно относительно сложения, то
(x+y) ∙ (z+p) = x∙ (z+p) + y∙ (z+p) = (x∙z+x∙p) + (y∙z+y∙p).
А поскольку сложение ассоциативно, то последнюю запись можно записать без скобок. Следовательно, (x+y) ∙ (z+p) = x∙z+x∙p+y∙z+y∙p.
Часто в множестве, на котором рассматривается алгебраическая операция, выделяются особые элементы, называемые в алгебре нейтральными и поглощающими.
Определение. Элемент е из множества X называется нейтральным относительно алгебраической операции *, если для любого элемента х из множества X выполняются равенства х*е =е*х =х.
Доказано, что если нейтральный элемент относительно алгебраической операции существует, то он единственный.
Определение. Элемент р из множества X называется поглощающим относительно алгебраической операции *, если для любого элемента х из множества X выполняются равенства х*р =р*х=р.
Если поглощающий элемент относительно алгебраической операции существует, то он единственный.
Так, в множестве Z целых неотрицательных чисел нуль является нейтральным элементом относительно сложения, поскольку для любого х из множества Z выполняются равенства x + 0 = 0 + x = х. Это же число нуль является поглощающим элементом относительно умножения: для любого х из множества Z верны равенства: х∙0 = 0∙х = 0.
Как известно, вычитание чисел является операцией, обратной сложению. Но чтобы дать определение обратной операции в общем виде, надо определить понятие сократимой операции.
Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множестве X, называется сократимой, если из условий а*х = а*у и х*а = у*а следует, что х =у.
Например, сократимо сложение натуральных чисел: из равенства а+х=а+у и х+а=у+а следует, что х = у.
Определение. Пусть * - сократимая и коммутативная алгебраическая операция, заданная на множестве X. Тогда операция ○ называется обратной для операции *, если х○ у = z тогда и только тогда, когда y*z=x.
Тот факт, что вычитание на множестве целых чисел есть операция, обратная сложению, означает: z = х - у тогда и только тогда, когда у + z = х.
Множество X с заданными на нем алгебраическими операциями принято называть алгеброй. В начальном курсе математики в основном изучают множество Z целых неотрицательных чисел, которое является объединением натуральных чисел и нуля: Zo = N 
{0}. На этом множестве рассматриваются алгебраические операции сложения и умножения. Используя язык современной математики, можно сказать, что в начальной школе изучают алгебру (Zo, +, ∙). Ее основные характеристики:
1) Сложение и умножение на множестве Zo ассоциативно и коммутативно, а умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.:
(
х, у 
Zo) x + у=у + х;
( х,y Zo) х∙у = у∙х;
( x,y,z Zo) (x + y) + z = x + (y + z);
( x,y,z Zo) (x∙y) ∙z = x∙ (y∙z)
( x,y,z Zo) (x + y) ∙z = x∙z + y∙z
2) Сложение и умножение сократимы (исключая сокращение произведения на нуль), т.е. для любых целых неотрицательных чисел х,у и а справедливы утверждения:
х+а=у+а 
х=у
х∙а=у∙а х=у
3) Нуль является нейтральным элементом относительно сложения и поглощающим относительно умножения:
( х Zo) х + 0 = 0 + х = х;
( х Zo) x∙0 = 0∙x = 0.
Единица является нейтральным элементом относительно умножения:
( х Zo) х∙1 = l∙x = x.
4) Сократимость сложения и умножения целых неотрицательных чисел позволяет определить в Zo частичные алгебраические операции вычитания и деления как обратные соответственно сложению и умножению (исключая деление на нуль):
х-у =z <=> у + z = х
х:у = z <=> y∙z = х.
5) Вычитание и деление обладают свойствами:
Названные характеристики алгебры (Zo, +, ∙) присутствует (явно или неявно) в любом начальном курсе математики.
