Положим, что систематические погрешности исключены и погрешности результатов измерений являются только случайными. Обозначим буквами 
- результаты измерений физической величины, истинное значение которого равно 
. Абсолютные погрешности результатов отдельных измерений обозначены:
(1)
Суммируя получено левые и правые стороны равенства (1), получим:
(2)
В основе теории случайных погрешностей лежат подтверждаемые опытом предположения:
- погрешности могут принимать непрерывный ряд значений;
- при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;
- вероятность появления погрешности уменьшается с ростом ее величины. Необходимо также, чтобы погрешности были малы по сравнению с измеряемой величиной и независимы.
Согласно предположению (1) при числе измерений n ® ¥ получим
,
Однако, всегда число измерений конечно и остается неизвестным. Но для практических целей достаточно найти экспериментальным путем значение физической величины настолько приближающееся к истинному, что 
может быть использована вместо истинного. Вопрос в том, как оценить степень этого приближения?
По теории вероятности среднее арифметическое серии измерений достовернее результатов отдельных измерений, т.к. случайные отклонения от истинного значения в разные стороны равновероятны. За вероятность a появления величины ai в интервале шириной 2Dai понимают относительную частоту появления значений ai, попадающих в интервал 2Dai к числу всех появляющихся значений ai при числе опытов (измерений), стремящихся к бесконечности. Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю, т.е. 0 £ a £ 100 %.
Вероятность того, что искомая величина 
(истинное значение ее) содержится в интервале (a - Da, a + Da) назовем доверительной вероятностью (надежностью) a, а соответствующий a интервал (a - Da, a + Da) - доверительным интервалом; чем меньше величина погрешности Da, тем меньше и вероятность того, что измеряемая величина содержится в интервале, определенной этой погрешностью. Верно и обратное утверждение: чем меньше надежность результата, тем уже доверительный интервал искомой величины.
При большом n (практически при n ³ 100) полуширина доверительного интервала при заданной надежности a равна
, (3)
где K(a) = 1 при a = 0,68; K(a) = 2 при a = 0,95; K(a) = 3 при a = 0,997.
При малом числе измерений, что чаще всего и встречается в студенческом лабораторном практикуме, коэффициент K(a)в (3) зависит не только от a, но еще и от числа измерений n. Поэтому мы всегда будем при наличии только случайной погрешности полуширину доверительного интервала находить по формуле
(4)
В (4) коэффициент tan называется коэффициентом Стьюдента. Для a = 0,95 принятой в студенческом практикуме, значения tan таковы:
| n | |||||||||
| tan | 4,3 | 3,2 | 2,8 | 2,6 | 2,5 | 2,4 | 2,3 | 2,3 |
Величину 
называют среднеквадратичной погрешностью среднего арифметического из серии измерений.
Погрешность прибора или меры обычно указывается в паспорте его (ее) или условным знаком на шкале прибора. Обычно под погрешностью прибора d понимают полуширину интервала, внутри которого с вероятностью измерений 0,997 может быть заключена измеряемая величина, если погрешность измерений обусловлена только погрешностью прибора. В качестве общей (полной) погрешности результата измерений примем с вероятностью a = 0,95
, (5)
Абсолютная погрешность позволяет установить в каком знаке полученного результата содержится неточность. Относительная погрешность дает информацию о том, какую долю (процент) измеряемой величины составляет погрешность (полуширина доверительного интервала).
Окончательный результат серии прямых измерений величины a0 запишем в виде
.
Например
(6)
Таким образом, любая физическая величина, найденная опытным путем, должна быть представлена:
- средним значением ;
- доверительной величиной a;
- полушириной доверительного интервала Da.
