Аксиоматика Пеано для натуральных чисел

Думаю, каждый школьник слышал такое понятие, как аксиома. Аксиома – это утверждение, не требующее доказательства. В математике это понятие играет очень важную роль. Вся математика опирается на аксиомы, из которых потом последовательно выводятся (доказываются) все остальные математические утверждения (это и теоремы, которые мы учим в школе и различные формулы).

Так вот в 19 веке в Италии жил выдающийся математик Джузеппе Пеано. Он впервые дал формальное определение натурального числа. Он же является автором так называемой аксиоматики Пеано натуральных чисел. Именно аксиомы Пеано помогут нам ответить на наш вопрос. Джузеппе Пеано утверждал, что натуральными числами, или натуральным рядом, называется множество N (общепринятое обозначение), которое удовлетворяет следующим аксиомам:

1) В N существует натуральное число 1, называемое единицей;

2) За каждым натуральным числом n непосредственно следует однозначно определенное натуральное число n’, называемое следующим за числом n;

Замечание: далее всюду число, следующее за натуральным числом n, будем обозначать символом n’.

3) 1 (единица) не следует ни за каким натуральным числом, то есть не существует такого натурального числа n, что n’ = 1;

4) Если некоторое натуральное число n’ следует сразу за числом n, а также следует сразу за числом m, то числа n и m тождественно равны;

5) Пусть какое-нибудь утверждение верно для 1 (единицы). Тогда, если мы предположим, что это утверждение верно для некоторого натурального числа n, и из этого предположения получим, что оно верно и для следующего за n натурального числа, то мы сможем заключить, что наше утверждение верно для любого натурального числа.

Пеано определяет также операции сложения и умножения на множестве натуральных чисел.

Операция сложения по Пеано – это такая операция «+», которая обладает следующими свойствами:

6) n + 1 = n’;

7) n + m’ = (n + m)’;

Операция умножения по Пеано – это такая операция «∙», которая обладает следующими свойствами:

8) n ∙ 1 = n;

9) n ∙ m’ = n ∙ m + n.

Для операции сложения также выполняются следующие свойства:

1) (n + m) + k = n + (m + k) для любых натуральных чисел n, m, k (это свойство называется ассоциативность);

2) n + m = m + n для любых натуральных чисел n, m (это свойство называется коммутативность).

Аналогичные свойства выполняются и для умножения:

1) (n ∙ m) ∙ k = n ∙ (m ∙ k) для любых натуральных чисел n, m, k (ассоциативность);

2) n ∙ m = m ∙ n для любых натуральных чисел n, m (коммутативность);

И, наконец, свойство, которое связывает операции сложения и умножения:

n ∙ (m + k) = n ∙ m + n ∙ k для любых натуральных чисел n, m, k (это свойство называется дистрибутивность).

Таким образом, благодаря Пеано, мы получили все, что нам необходимо для работы с натуральными числами. Теперь давайте разберемся, как же применять эти аксиомы, и попытаемся ответить на главный вопрос, который стоит перед нами: почему 2 ∙ 2 = 4?

Пример. Доказать, что 2 + 2 = 4.

Доказательство.

Используем аксиоматику Пеано и получим:

2 + 2 = 2 + 1’ = [аксиома 7] (2 + 1)’ = [аксиома 6] (2’)’ = 3’ = 4.

Пример.Доказать, что 2 ∙ 2 = 4.

Доказательство.Используем аксиоматику Пеано и получим:

2 ∙ 2 = 2 ∙ 1’ = [аксиома 9] 2 ∙ 1 + 2 = [аксиома 8] 2 + 2.

А в предыдущем примере мы уже доказали, что 2 + 2 = 4. Таким образом, можем заключить, что 2 ∙ 2 и вправду равно 4!

 

Некоторые математики считают, что объяснять ребенку, что такое 2, 3 и вообще что такое число, нужно именно таким образом. Но мне кажется, что это слишком тяжело для понимания и может напугать ребенка и отбить всяческий интерес к математике. А вот школьнику постарше, который уже в некоторой степени знаком с математикой, это должно показаться любопытным. Ведь намного интереснее понимать суть того, что ты делаешь, чем заучивать непонятные правила и определения наизусть.