Условие перпендикулярности двух прямых. Элементы аналитической геометрии на плоскости

Элементы аналитической геометрии на плоскости

 

1) Расстояние между точками и :

2) Координаты точки , делящей отрезок с концами и в отношении : ,

 

Прямая линия на плоскости

1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом

, где – угловой коэффициент (тангенс угла ), – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси .

 

 

2) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении

Дано: точка и угловой коэффициент (задает направление)

Уравнение прямой: (1)

При разных значениях уравнение (1) является уравнением различных прямых, проходящих через точку . Уравнение (1) называют уравнением пучка прямых, проходящих через данную точку. Уравнением (1) не определяется только прямая, параллельная оси (она не имеет углового коэффициента).

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки и :

или

Угловой коэффициент этой прямой .

4) Уравнение прямой в отрезках на осях: , где – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях и .

5) Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору :

6) общее уравнение прямой: , (2) где

Частные случаи:

а) Пусть , тогда уравнение (2) можно записать в виде .

Обозначим , . Тогда получим .

• Если , , то получится уравнение (уравнение прямой, проходящей через начало координат).

• Если , , то получится уравнение (уравнение прямой, параллельной оси ).

• Если , , то получится уравнение (уравнение оси ).

б) Пусть , , тогда уравнение (2) примет вид . Обозначим . Тогда получим:

• , если (уравнение прямой, параллельной оси );

• , если (уравнение оси )

Следовательно, при любых значениях коэффициентов (где ) уравнение (2) является уравнением некоторой прямой линии на плоскости .

Угол между двумя прямыми.

 

Пусть заданы две прямые: и . Угол получается поворотом прямой к прямой против часовой стрелки.

Из рисунка видно, что . Так как , (предполагается, что и ), то получаем

Таким образом, получаем следующую формулу для нахождения угла между прямыми:

.

Кроме того, для вычисления углов и между прямыми, заданными общими уравнениями и , справедлива формула

, где и .

 

 

Условие параллельности двух прямых

Равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых, т.е. .

Условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями, является пропорциональность коэффициентов при переменных х и у, т.е.

 

Условие перпендикулярности двух прямых

Для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку, т.е. (или ).

Условием перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями, является равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных х и у, т.е. .

 

Точка пересечения прямых

Пусть даны прямые и .

Координаты точки пересечения этих прямых должны удовлетворять уравнению каждой прямой. Поэтому, они могут быть найдены из системы уравнений

Если прямые не параллельны и не совпадают (т.е. ), то решение данной системы дает координаты единственной точки пересечения этих прямых.