Краткие теоретические сведения. ТЕМА: Задачи линейной алгебры

ЗАДАНИЕ 2

ТЕМА: Задачи линейной алгебры

Содержание документа:

2.1	Задание
2.2	Краткие теоретические сведения
2.3	Задачи линейной алгебры в приложении Mathcad
2.4	Средства Mathcad, необходимые для выполнения работы
2.5	Контрольные вопросы
2.6	Таблица индивидуальных вариантов

2.1. Задание:

Изучить теоретический и вспомогательный материал, изложенный в лекции «Задачи линейной алгебры» и в данных методических указаниях.

Средствами Mathcad решить следующие задачи.

Задача 1. Дана квадратная матрица А четвертого порядка. Найти:

1) D - определитель матрицы А.

2) матрицу Т, транспонированную по отношению к матрице А.

3) матрицу С, обратную по отношению к матрице А. Результат проверить перемножением матриц А и С.

Задача 2. Даны матрица А и вектор-столбец В. Решить систему линейных алгебраических уравнений четвертого порядка, матрицей коэффициентов которой является матрица А, а столбцом свободных членов - вектор В.

Значения матрицы А и вектора B взять из таблицы вариантов в соответствии с номером студента в журнале подгруппы.

Применить три описанных ниже способа решения:

- через обратную матрицу,

- с использованием вычислительного блока Given-Find,

- с использованием встроенной функции lsolve.

Mathcad-файл с решенными задачами сохранить под именем Задание1 в личной папке HOME.

Для защиты задания представить на компьютере Mathcad -файл решения задачи и рукописный отчет. В отчете представить:

1) исходные данные – матрицу А и вектор-столбец В;

2) результаты решения задач – значение определителя матрицы А, матрицы Т и С, вектор-столбец Х;

3) ответы на контрольные вопросы.

Краткие теоретические сведения

Одной из центральных проблем вычислительной линейной алгебры является решение систем линейных уравнений, а также различные операции с матрицами, например, вычисление определителей, транспонирование и обращение матриц и т.д.

1) Элементы матрицы Т, транспонированной по отношению к матрице А, вычисляются по формуле , где i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых находится элемент.

2) Элементы матрицы С, обратной по отношению к матрице А, вычисляются по формуле:

,

где - алгебраическое дополнение элемента ,

- определитель матрицы А.

3) Задачей решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), т. е. систем n уравнений вида

является нахождение таких значений , при которых все уравнения системы обращаются в тожднство.

Из общего курса линейной алгебры известно, что такая СЛАУ имеет единственное решение, если определитель матрицы A не равен нулю. Самый простой способ решения такой системы — использование алгоритма Гаусса.

Система линейных алгебраических уравнений в матричной записи имеет вид:

,

где A - матрица коэффициентов системы размерности n×n;

В - вектор-столбец свободных членов системы,

Х - вектор-столбец неизвестных величин системы.

Исходя из матричной записи системы, вектор-столбец неизвестных Х можно найти по формуле:

,

где - матрица, обратная по отношению к матрице А.