ЗАДАНИЕ 2
ТЕМА: Задачи линейной алгебры
Содержание документа:
| 2.1 | Задание | |
| 2.2 | Краткие теоретические сведения | |
| 2.3 | Задачи линейной алгебры в приложении Mathcad | |
| 2.4 | Средства Mathcad, необходимые для выполнения работы | |
| 2.5 | Контрольные вопросы | |
| 2.6 | Таблица индивидуальных вариантов |
2.1. Задание:
Изучить теоретический и вспомогательный материал, изложенный в лекции «Задачи линейной алгебры» и в данных методических указаниях.
Средствами Mathcad решить следующие задачи.
Задача 1. Дана квадратная матрица А четвертого порядка. Найти:
1) D - определитель матрицы А.
2) матрицу Т, транспонированную по отношению к матрице А.
3) матрицу С, обратную по отношению к матрице А. Результат проверить перемножением матриц А и С.
Задача 2. Даны матрица А и вектор-столбец В. Решить систему линейных алгебраических уравнений четвертого порядка, матрицей коэффициентов которой является матрица А, а столбцом свободных членов - вектор В.
Значения матрицы А и вектора B взять из таблицы вариантов в соответствии с номером студента в журнале подгруппы.
Применить три описанных ниже способа решения:
- через обратную матрицу,
- с использованием вычислительного блока Given-Find,
- с использованием встроенной функции lsolve.
Mathcad-файл с решенными задачами сохранить под именем Задание1 в личной папке HOME.
Для защиты задания представить на компьютере Mathcad -файл решения задачи и рукописный отчет. В отчете представить:
1) исходные данные – матрицу А и вектор-столбец В;
2) результаты решения задач – значение определителя матрицы А, матрицы Т и С, вектор-столбец Х;
3) ответы на контрольные вопросы.
Краткие теоретические сведения
Одной из центральных проблем вычислительной линейной алгебры является решение систем линейных уравнений, а также различные операции с матрицами, например, вычисление определителей, транспонирование и обращение матриц и т.д.
1) Элементы матрицы Т, транспонированной по отношению к матрице А, вычисляются по формуле 
, где i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых находится элемент.
2) Элементы матрицы С, обратной по отношению к матрице А, вычисляются по формуле:
,
где 
- алгебраическое дополнение элемента 
,
- определитель матрицы А.
3) Задачей решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), т. е. систем n уравнений вида
является нахождение таких значений 
, при которых все уравнения системы обращаются в тожднство.
Из общего курса линейной алгебры известно, что такая СЛАУ имеет единственное решение, если определитель матрицы A не равен нулю. Самый простой способ решения такой системы — использование алгоритма Гаусса.
Система линейных алгебраических уравнений в матричной записи имеет вид:
,
где A - матрица коэффициентов системы размерности n×n;
В - вектор-столбец свободных членов системы,
Х - вектор-столбец неизвестных величин системы.
Исходя из матричной записи системы, вектор-столбец неизвестных Х можно найти по формуле:
,
где 
- матрица, обратная по отношению к матрице А.
