Моменты инерции твердого тела, радиус инерции.
Лекции.Орг

Поиск:


Моменты инерции твердого тела, радиус инерции.




Движение системы, кроме действующих сил, зависит также от ее суммарной массы и распределения масс. (сумма масса, центр масс).

Положение центра масс однако не полностью характеризует распределение масс системы. Например:

При одновременном изменении h центр масс не меняется, а распределение масс станет другим, и это скажется на движении системы (вращение будет происходить медленнее).

Поэтому в механике вводится еще одна характеристика распределения масс – момент инерции. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении является мерой его инертности.

Моментом инерции тела (системы) относительно оси (или осевым моментом) называется скалярная величина, равная сумме произведения масс всех точек тела на квадраты их расстояний от точки до оси.

(всегда >0 и )

Моментом инерции твердого тела (системы) относительно полюса (полярным моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния оси точки до этого полюса.

Для вычисления осевых и полярных моментов инерции можно расстояния выражать через координаты этих точек.

, ,

из приведенных формул получим

Для одной точке, находящейся на расстоянии h от оси момент инерции можно вычислить

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции.

Радиусом инерции тела относительно оси OZ называется линейная величина определяемая равенством

( - радиус инерции)

Из определения следует, что радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси OZ той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Записанные формулы справедливы для механической системы и любого твердого тела. Для сплошного твердого тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (9.1), обратится в интеграл

- элементарный объем

- плотность

и h зависят от координаты точки.

Поэтому формулы (9.3) примут вид.

Если тело однородное, то

Найдем моменты инерции некоторых однородных тел.

1) Тонкий однородный стержень длины l, массы М. рисунки

h = х

(9.10)

2. Тонкое однородное кольцо радиуса R и массы М.

т.к. , то получим

(9.11)

такой же результат для тонкой цилиндрической оболочки массы М и радиуса R относительно ее оси.

3. Круглая однородная пластинка или цилиндр радиуса R и массы М.

Если выделим элементарное кольцо радиуса r и толщины dr

Площадь его

масса

где масса единичной площади

dm

(9.12).

4) Прямоугольная пластинка массы М со сторонами а, b

5) Шар массы М радиуса R (9.14)

Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса.

т. С оси

т. О оси Oxyz

Oy // Cy’

Oz // Cz’

cCz’ и Oz=d

По формулам (9.3)

Из рисунка видно, что для любой точки тела

=0

т.к.

(9.15)

Теорема Гюйгенса

Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Из формулы (9.15) видно, что наименьший момент инерции будет у тела относительно оси, проходящей через точку С.





Дата добавления: 2017-03-12; просмотров: 444 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.004 с.