Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число, определяемое равенством

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

 

Оглавление.

1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

3. Числовые характеристики некоторых случайных величин.

4. Линейные функции случайных величин.

 

В теории вероятности и во многих ее приложениях большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Основными из них являются математическое ожидание и дисперсия.

1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом:

- число подшипников с внешним диаметром ,

- число подшипников с внешним диаметром ,

....................................

- число подшипников с внешним диаметром .

Здесь . Найдем среднее арифметическое значение внешнего диаметра подшипника. Очевидно,

Внешний диаметр вынутого наудачу подшипника можно рассматривать как случайную величину , принимающую значения , c соответствующими вероятностями , ,..., , так как вероятность появления подшипника с внешним диаметром x_i равна m_i /N. Таким образом, среднее арифметическое значение x_ср внешнего диаметра подшипника можно определить с помощью соотношения

Пусть - дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей (такую таблицу для дискретной случайной величины мы уже приводили):

Значения	х1	х2	...	хn
Вероятности	p1	p2	...	pn

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е.

(4.1)

В случае, если множество возможных значений дискретной случайной величины образует бесконечную последовательность x1, x2,..., xn,..., то математическое ожидание этой случайной величины определяется как сумма ряда, причем требуется, чтобы этот ряд абсолютно сходился.

Возвращаясь к разобранному выше примеру, мы видим, что средний диаметр подшипника равен математическому ожиданию случайной величины - диаметру подшипника.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число, определяемое равенством

(4.2)

При этом предполагается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (4.2) существует.

Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин.

1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.
Доказательство. Постоянную можно рассматривать как случайную величину , которая может принимать только одно значение c вероятностью равной единице. Поэтому .

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. .

Доказательство. Используя соотношение (4.1), имеем

3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

(4.3)

4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

(4.4)

Под суммой (произведением) двух случайных величин и понимают случайную величину , возможные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины и каждого возможного значения величины .

 

 

2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

Во многих практически важных случаях существенным является вопрос о том, насколько велики отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Предварительно рассмотрим пример. Пусть две случайные величины и заданы следующими рядами распределения

 

Значения	-0,2	-0,1	0,1	0,2
Вероятности	0,25	0,25	0,25	0,25
Значения	-50	-40
Вероятности	0,25	0,25	0,25	0,25

 

Легко убедится в том, что математические ожидания этих величин одинаковы и равны нулю:

Однако разброс значений этих величин относительно их математического ожидания неодинаков. В первом случае значения, принимаемые случайной величиной , близки к ее математическому ожиданию, а во втором случае далеки от него. Для оценки разброса (рассеяния) значений случайной величины около ее математического ожидания вводится новая числовая характеристика - дисперсия.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математичеcкого ожидания:

(4.5)

Казалось бы, естественным рассматривать не квадрат отклонения, а просто отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю, так как

Здесь мы воспользовались тем, что постоянно, а математическое ожидание постоянной есть эта постоянная. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуль отклонения случайной величины от ее математического ожидания: . Однако, как правило, действия связанные с абсолютными величинами, приводят к громоздким вычислениям. Поэтому приняли то, что приняли.

Выведем теперь другую формулу для расчета дисперсии.

Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения соответственно с вероятностями . Очевидно, что случайная величина принимает значения

с теми же вероятностями . Следовательно, согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, имеем

(4.6)

Если же - непрерывная случайная величина с плотностью распределения , то по определению

(4.7)

Принимая во внимание определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем

Так как и - постоянные, то, используя свойства математического ожидания, получим

Следовательно,

Откуда окончательно находим

(4.8)

 

Рассмотрим теперь свойства дисперсии.