Формула полной вероятности.

Предположим, что будет производится некоторый опыт, причем об условиях его проведения можно высказать n (единственно) возможных и несовместных гипотез , имеющих вероятности . Пусть в результате проведения этого опыта может произойти или не произойти событие А, причем известно, что если опыт происходит при выполнении гипотезы , то .

Спрашивается, как изменятся вероятности гипотез, если стало известным, что событие А произошло? Иными словами, нас интересуют значения вероятностей .

На основании соотношений (5) и (6) имеем

Откуда .

Но по формуле полной вероятности

Поэтому

(1.13)

Формула (13) называется формулой Бейеса (Т. Бейес (ум. 1763) - английский математик.).

Пример 1.11. На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены на 1-м заводе, 460 —на 2-м и 340 - на 3-м. Вероятность того, что подшипник окажется нестандартным, для 1-го завода равна 0,03, для 2-го — 0,02, для 3-го — 0,01. Взятый наудачу подшипник оказался нестандартным. Какова вероятность того, что он изготовлен 1-м заводом?

Решение: Пусть A — событие, состоящее в том, что взятый подшипник нестандартный, а - гипотезы, что он изготовлен соответственно 1-м, 2-м или 3-м заводом. Вероятности указанных гипотез составляют

Из условия задачи следует, что

Найдем , т. е. вероятность того, что подшипник, оказавшийся нестандартным, изготовлен 1-м заводом. По формуле Бейеса имеем

Таким образом, вероятность гипотезы, что подшипник изготовлен 1-м заводом, изменилась после того, как стало известно, что он нестандартен.

Пример 1.12. Команда стрелков состоит из человек. из ни попадают в цель с вероятностью , а двое - с вероятностью . Наудачу из команды берется стрелок и производит выстрел.

а). Какова вероятность того, что стрелок попадет.

б). Если стрелок попал в цель, то какова вероятность, что это один из трех (один из двух).