Основные формулы комбинаторики.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

 

Оглавление.

1. Основные формулы комбинаторики.

2. Случайные события. Частота. Вероятность.

3. Аксиомы вероятностей.

4. Классическое определение вероятности.

5. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

6. Формула полной вероятности.

7. Формула Бейеса.

 

Основные формулы комбинаторики.

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно со­ставить из элементов, безразлично какой природы, задан­ного конечного множества. При непосредственном вычис­лении вероятностей часто используют формулы комбина­торики. Ниже приведены самые распространенные из них:

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возмож­ных перестановок:

, .

По определению, .

Размещениями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые от­личаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

.

Либо .

Сочетаниями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отли­чаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

.

Замечание: выше предполагалось, что все элементов раз­личны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.

Напри­мер, если среди элементов есть элементов одного вида, эле­ментов другого вида и т. д., то число перестановок с повторениями:

, где .

При решении задач комбинаторики используют сле­дующие правила:

Правило суммы: если некоторый объект может быть выбран из совокупности объектов способами, а другой объект может быть выбран способами, то выбрать либо , либо можно способами.

Правило произведения: если объект можно выбрать из совокупности объектов способами и после каждого такого выбора объект можно выбрать спо­собами, то пара объектов в указанном порядке может быть выбрана способами.

2. Случайные события. Частота. Вероятность.

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности массовых, случайных явлений (событий).

Случайным событием (или просто событием) называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Теория вероятностей имеет дело с такими событиями, которые имеют массовый характер. Это значит, что данная совокупность условий может быть воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называют испытанием (или опытом).

Если, например, испытание состоит в бросании монеты, то выпадение герба является событием. Если испытание — изготовление подшипника данного типа, то соответствие подшипника стандарту — событие. Если испытание — бросание игральной кости, т. е. кубика, на гранях которого проставлены цифры (очки) от до , тo выпадение пятерки — событие.

При подбрасывании монеты вероятность выиграть составляет 1/2, а при бросании игральной кости выигрышем считается выпадение цифры шесть (вероятность выигрыша 1/6). Чему равна вероятность проигрыша в каждом случае? Значит ли это, что играть в кости менее выгодно?

Обсуждение

В каждом из двух случаев вероятность выиграть и проиграть должны составить в сумме 100% или единицу, поскольку ничейный вариант в этих ситуациях невозможен. Это означает, что при бросании монеты вероятность проиграть равна 1/2, а при бросании игральной кости - 5/6. А вот вопрос о "выгодах" предложения поиграть в кости по сравнению с предложением бросить монету не так прост, как это кажется. Оставив на минуту в стороне азартные игры, обсудим одну важную для бизнеса проблему. Решение о "выгодности" любого предпринимаемого нами действия, очевидно, зависит не только от нашей оценки риска данного предприятия, но и от величины предполагаемого выигрыша по сравнению с нашими ставками. Чем меньше шансов получить выигрыш, тем больше должна быть величина этого выигрыша по сравнению со ставкой, чтобы сделать игру привлекательной для потенциальных игроков. Забота о привлекательности условий игры, конечно, распространяется только на те случаи, когда игроки принимают решение об участии в процессе добровольно и осмысленно. Так, чем рискованнее финансовые вложения, тем большую прибыль мы ожидаем получить в результате. Когда соотношение "риск - прибыльность" кажется нам неподходящим, мы ищем возможности покинуть "игру". Поэтому при любой оценке бизнес-проекта оценка рисков не менее важна, чем оценка прибыльности, по сути, это - неотъемлемая часть финансово-экономического анализа. Возвращаясь к нашему заданию, пришло время обсудить финансовые условия игры. Какой именно выигрыш покажется нам справедливым и почему? Если при бросании монеты участвуют два игрока, сделавшие одинаковые ставки, причем выигравший забирает все, то возможный выигрыш в такой игре должен вдвое превышать исходную ставку. Менее очевидный случай - бросание кости. Должен ли выигрыш в шесть раз превышать ставку игрока, и откуда возьмется эта сумма, если игроков по-прежнему только двое? Вот если бы игроков было шестеро, и каждый поставил бы на разную цифру, то при одинаковых исходных ставках получилась бы вполне справедливая игра. Выигравший забрал бы в шесть раз больше, чем поставил, но шансы каждого игрока выиграть были бы одинаковыми. Если же играют двое, причем один выигрывает, только при выпадении цифры "шесть", значит второй выигрывает при любой другой ситуации, и его шансы на выигрыш в пять раз выше. Само по себе это не означает, что игра "нечестная", просто справедливые правила должны потребовать от второго игрока сделать исходную ставку, которая будет в пять раз выше, чем ставка первого игрока.

 

События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: . Пусть при испытаниях событие появилось раз. Отношение называется частотой (относительной частотой) события и обозначается . Опыт показывает, что при многократном повторении испытаний частота случайного события обладает устойчивостью.

Устойчивость относительных частот появления в различных сериях достаточно большого числа испыта­ний можно проиллюстрировать на таком примере.

Опыт	Число опытов,	Появление герба,
Опыт Керриха	10 000	5 087	0,5087
Опыт Бюффона	4 040	2 048	0,5069
1 Опыт Пирсона	12 000	6 019	0,5016
2 Опыт Пирсона	24 000	12 012	0,5005

 

Наблюдаемое в этом примере свойство устойчивости частоты является общим свойством массовых случайных событий, а именно, всегда существует такое число, к которому приближается частота появления данного события, мало отличаясь от него при большом числе испытаний. Это число называется вероятностью события. Оно выражает объективную возможность появления события. Чем больше вероятность события, тем более возможным оказывается его появление. Вероятность события будем обозначать через . В рассмотренном выше примере вероятность появления герба, очевидно, равна 0,5.

 

Событие называется достоверным, если оно в данном опыте обязательно должно произойти; наоборот, событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти.

Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара — достоверное событие; появление белого шара — невозможное событие.

 

Если событие достоверно, то оно произойдет при каждом испытании . Поэтому частота достоверного события всегда равна единице. Наоборот, если событие невозможно, то оно ни при одном испытании не осуществится . Следовательно, частота невозможного события в любой серии испытаний равна нулю. Поэтому вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю.

Если событие не является ни достоверным, ни невозможным, то его частота при большом числе испытаний будет мало отличаться от некоторого числа — вероятности события .

- вероятность события , - численное значение этой вероятности. Если , то . Пишут , но не пишут .