Неравенства с одной переменной

Предложения 2х + 1 > 10-х, х² + 7x<2, (x + 2)(2x-3) > 0 называют неравенствами с одной переменной.

В общем виде это понятие определяют так:

Определение. Пусть f(x) и g(x) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f (х) >g(x) или f(x) <g(x) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.

Значение переменной х из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство - это значит найти множество его решений.

Так, решением неравенства 2х + 7 > 10 -х, х R, является число х = 5, так как 2∙5 + 7 > 10 - 5 - истинное числовое неравенство. А множество его решений - это промежуток (1, ∞), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2х+ 7> 10-х => 3х>3 => х>1.

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение. Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2х + 7> 10 и 2х>3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток (, ∞).

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 3. Пусть неравенство f(x) >g(x) задано на множестве X и h(x) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f (х) > g(x) и f(x) + h(x) = g(x) + h(x) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f(x) > g(x) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(x) + d > g(x) + d, равносильное исходному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. Пусть неравенство f (х) > g(x) задано на множестве X и h(x) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества X выражение h(x) принимает положительные значения. Тогда неравенства f (х) > g(x) и f(x) ∙h(x) > g(x) ∙h(x) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (х) > g(x) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство f(x)-d> g(x) ∙d, равносильное данному.

Теорема 5. Пусть неравенство f (х) > g(x) задано на множестве X и h(x)- выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h(x) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f (х) > g(x) и f(x) ∙h(x) < g(x) ∙h(x) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(x) > g(x) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(x) ∙d < g(x) ∙d, равносильное данному.

Решим неравенство 5x-5<2x-16, x R, и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Преобразования Обоснование преобразований

1. Перенесем выражение 2х в левую часть, а число -5 в правую, поменяв их знаки на противоположные: 5х-2х<16 + 5 2. Приведем подобные члены в левой и правой частях неравенства: 3х < 21. равенства на 3: х < 7. 3. Разделим обе части неравенства на 3: х < 7. Воспользовались следствием 2 из теоремы 3, получили неравенство, равносильное исходному. Выполнили тождественные преобразования выражений в левой и правой частях неравенства - они не нарушили равносильности неравенств: данного и исходного. Воспользовались следствием из теоремы 4, получили неравенство, равносильное исходному.

Решением неравенства х < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5х- 5 < 2х + 16 является промежуток (-∞, 7).