В ондуляторном лазере на свободных электронах релятивистский электронный пучок (обычно это последовательность коротких электронных пакетов) пролетает через достаточно протяженную область, в которой магнитное поле пространственно периодично (2). Систему, обеспечивающую пространственную периодичность поля, называют ондулятором (от французского onde — волна или ondulatoire — волнообразный, волнообразователь) или виглером (от английского wiggle — покачивать, извиваться). Магнитные ондуляторы создают вблизи оси пучка постоянное во времени поперечное пространственно-периодическое линейно или циркулярно поляризованное поле.
Рассмотрим лазер со спиральным ондулятором, магнитное поле, на оси которого циркулярно поляризовано. При круговой поляризации волны, распространяющейся вдоль оси z параллельно электронному пучку, электроны находятся в полях, определяемых векторными потенциалами поля ондулятора A 1 и пола электромагнитной волны A 2,
A 1 = 
A 2 = 
(5)
Здесь x и у — единичные векторы вдоль осей Ох и Оу, перпендикулярных друг к другу и к оси Оz; Е — напряженность электрического поля; w — частота распространяющейся вдоль Ог электромагнитной волны; q = 2 p / L (L и Н — период и напряженность магнитного поля ондулятора).
В системе координат, движущейся с первоначальной скоростью электронов V» c, потенциалы (5) принимают вид
(6),
где величины со штрихом относятся к движущейся системе координат и в соответствии с (3) и (4)
,
W =cq g
Первая из формул (6) показывает, что в сопутствующей системе координат потенциал поля ондулятора становится близким к потенциалу плоской волны частоты W. Другими словами, релятивистский электрон воспринимает статическое пространственно-периодическое магнитное поле как распространяющуюся навстречу ему электромагнитную волну с длиной волны L / g. Условие резонанса 
определяет ту частоту поля, в окрестности которой возможны усиление и генерация в ондуляторном лазере на свободных электронах. В лабораторной системе отсчета это условие дает значение
(7),
что полностью эквивалентно приведенной выше формуле (2).
Уравнения движения электрона в сопутствующей системе отсчета запишем в виде
(8),
где z — единичный вектор вдоль оси Ог; р’ и V’ импульс и скорость электрона; А' = А’ 1 + А’ 2 и учтено, что А' не зависит от поперечных координат. В силу этой независимости легко написать первый интеграл уравнения (8), определяющий движение электрона в плоскости xу:
(9)
Если считать движение электрона в сопутствующей системе координат нерелятивистским, то интеграл (9) прямо определяет скорость электрона в поперечной плоскости:
, 
(10)
Как видно из записи (6), векторный потенциал А не имеет продольной компоненты 
, что соответствует характеру намотки двухзаходной спирали соленоида, создающего ондуляторное поле, и поперечности распространяющейся в ондуляторе электромагнитной волны. Тогда уравнение для продольной компоненты импульса электрона 
согласно (8) принимает вид
(11)
Подставив в (11) значения компонент скорости 
и 
из (10), легко найти, что
(12)
Сумма квадратов поперечных составляющих суммарного векторного потенциала А' равна
(13)
Подставляя это выражение в (11) и учитывая, что при нерелятивистском движении в сопутствующей системе координат 
, получаем уравнение для продольной координаты электрона 
в этой системе:
(14)
Аргумент синуса определяет фазу движения электрона в полях ондулятора и распространяющейся в нем волны:
(15)
Связь фазы j с продольной координатой движения электрона г и временем t в лабораторной системе отсчета может быть получена с помощью обратного преобразования Лоренца:
(16)
В окрестности резонанса, т. е. при , имеем
(17)
Переходя в лабораторную систему отсчета и подставляя в (17) значения 
и 
, получаем уравнение
(18)
Таким образом, уравнение движения электрона в ондуляторе сводится к уравнению классического математического маятника для фазы этого движения. Это свидетельствует о наличии глубокой аналогии между лазером на свободных электронах и электронными приборами СВЧ, которые в приближении заданного поля также описываются подобными уравнениями.
Дальнейший анализ требует задания начальных условий. В момент входа электрона в ондулятор фаза имеет некоторое, вообще говоря, произвольное значение j 0. Второе начальное условие легко получить дифференцированием выражения (16), служащего определением фазы. В результате при t= 0 имеем
j = j 0
(19)
Заметим, что начальная скорость изменения фазы пропорциональна отстройке частоты излучения от резонансного значения.
Уравнение (18) с начальными условиями (19) полностью определяет движение электрона в полях волны и ондулятора и позволяет определить основные характеристики лазера.
Найдем энергию, излучаемую электроном в ондуляторе за один проход. Энергия, излучаемая в единицу времени, определяется как взятая с обратным знаком работа, совершаемая полем волны над электроном:
(20)
где по определению 
. Это уравнение позволяет установить простую связь между излучаемой энергией F и фазой j.
Действительно, с учетом (9) поперечная скорость электрона в лабораторной системе координат равна
(21)
Подставляя (6) в (21), а (21) в (20), после простых преобразований получаем
(22)
Но sin j связан с d 2 j /dt 2 уравнением маятника (18), что и дает искомую связь в достаточно простой форме:
(23)
Здесь W = g m 0 c 2 — полная энергия релятивистского электрона.
Интегрирование этого уравнения с учетом начальных условий (19) для d j /dt и при естественном предположении, что F(0)=0, дает
(24)
Воспользуемся далее хорошо известным первым интегралом уравнения движения маятника, который выражает закон сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергий маятника в произвольный момент времени равна их cумме в начальный момент времени t = 0. В наших обозначениях с учетом начальных условий (19) это означает, что
(25)
Отметим, что уровень полной энергии маятника определяется как начальной фазой j 0, так и расстройкой w - w 0. В приближении слабого сигнала
(26),
где учтено, что время прохождения электроном ондулятора длины L равно L/c, т. е. при E = 0 наш аналог маятника совершает не колебательное, а вращательное движение относительно некоторого положения равновесия, совершая полные обороты с круговой частотой (w - w 0)/2 g 2. Это означает, что в приближении слабого сигнала уравнение (25) может решаться методом итераций по отношению к слагаемому 
.
Не загромождая изложение протяженными выкладками, отметим, что в нулевом порядке излучаемая энергия (24) равна нулю. В отсутствие поля электромагнитной волны нет ни излучения, ни поглощения. В следующем, первом, приближении излучаемая энергия оказывается пропорциональной cos j 0, или sin j 0. Но в электронных ускорителях высокой энергии электронный пучок состоит, как уже отмечалось, из электронных сгустков (электронных пакетов) конечной длительности с продольным размером, обычно не меньшим 1 мм, что существенно превышает длину волны света. Следовательно, излучаемая энергия должна быть усреднена по начальной фазе j 0.
В результате такого усреднения в первом порядке по Е излучаемая энергия обращается в нуль. Только во втором порядке итераций уравнение (25) дает отличную от нуля среднюю скорость изменения фазы, что с помощью (24) позволяет определить среднюю энергию, излучаемую электроном за один проход 
. Эта величина естественным образом связана со значением коэффициента усиления излучения за один проход по мощности 1 + G, а именно:
(27),
где N e — электронная плотность. В результате довольно громоздких выкладок получается выражение
(28)
где введены обозначения 
, 
— число периодов ондулятора, L — его длина.
Коэффициент усиления G пропорционален производной от спектральной интенсивности спонтанного излучения, что прекрасно иллюстрируется, представленными на рис. 3 результатами измерения этих величин.
Рис. 3. Спектр спонтанного ондуляторного излучения (a) и спектральная зависимость коэффициента усиления в Лсэ (б)
Фактор 
определяет дисперсионную зависимость G(w). Усиление возможно (G>0) при u<0 или w < w 0. Максимальный коэффициент усиления достигается при | u | = 1. Это условие определяет ширину полосы усиления:
(29),
обусловленную конечной длиной ондулятора 
и являющуюся аналогом обычной однородной ширины линии. Подчеркнем, однако, что формула (28) получена для моноэнергетического пучка электронов. В реальных условиях дело обстоит не всегда так, и если разброс электронов по энергиям в пучке 
достаточно велик, то возникает неоднородное уширение, которое может оказаться более существенным, чем однородное.
При выполнении неравенства 
неоднородное уширение превышает однородное и формулу (28) необходимо усреднить по функции распределения электронов по энергиям f(W). В случае сильного неоднородного уширения фактор 
можно аппроксимировать дельта-функцией: 
. Тогда после усреднения по W получаем
(30)
Здесь введено обозначение 
и принято, что функция распределения f (W) нормирована условием 
, в силу чего 
. Максимальный коэффициент усиления достигается при 
, 
, где 
— средняя энергия электронов в пучке. Отсюда следует, что ширина полосы усиления в этом случае равна
(31)
Формула (30), справедливая при , допускает наиболее прямую аналогию с лазерами, основанными на переходах между дискретными уровнями атомов или молекул. В самом деле, условие отрицательности поглощения (G>0) выполняется, если 
. Это означает, что усиление осуществляется электронами, соответствующими возрастающему крылу функции распределения, и наоборот, поглощению отвечает ниспадающее крыло распределения электронов по энергии. Другими словами, усиление наблюдается при условии, что число электронов с большей энергией в окрестности W 0 больше числа электронов с меньшей энергией. А это есть не что иное, как условие инверсии населенности уровней применительно к системе с непрерывным спектром. При неоднородном уширении () условием отрицательного поглощения является обычное условие инверсии населенностей в окрестности энергии W 0 определяемой частотой w и периодом ондулятора 
.
Формулы (28) и (30) получены в одночастичном приближении. Вместе с тем, как уже говорилось раньше, в случае больших электронных токов существенную роль могут, вообще говоря, играть коллективные эффекты в плазме пучка. Однако если в сопутствующей релятивистским электронам системе координат произведение инкремента развития плазменных неустойчивостей на время пролета электронов через ондулятор мало, то неустойчивости не возникают и коллективными эффектами можно пренебречь. Максимальный инкремент развития неустойчивостей в плазме определяется плазменной частотой 
. Условием одночастичности взаимодействия является выполнение требования 
, где 
и 
— соответственно плазменная частота и время взаимодействия в движущейся системе координат. Обратное лоренцево преобразование для времени и продольной координаты приводит к условию 
, которое для ультрарелятивистских электронов всегда выполняется с большим запасом.
Итак, мы видим, что пучок релятивистских электронов, распространяющихся прямолинейно в магнитном ондуляторе, способен усиливать, а значит, при соответствующей обратной связи генерировать, излучение на длинах волн, определяемых пространственным периодом ондулятора L и значением релятивистского фактора g, т. е. энергией электронов. При этом перестройка длины волны излучения естественно осуществляется изменением энергии электронов. Лазер такого типа может, в принципе, работать от волн субмиллиметрового диапазона до дальнего УФ излучения. При характерной длине ондулятора в несколько метров и пространственном периоде 1 – 3 см относительная однородная ширина линии усиления составила бы 10-4 – 10-3. Обычно относительная немоноэнергетичность электронных пучков превышает эту величину.
Сравнительно легко в ондуляторах с помощью двойных сверхпроводящих спиралей достигается циркулярно поляризованное магнитное поле с индукцией в несколько килогаусс. В этих условиях при электронном токе в пучке в несколько ампер (Ne» 5 × 1010 – 1011 см3) для ближней ИК-области спектра при энергии электронов 20 – 30 МэВ получено усиление за один проход в несколько процентов (порядка 10%) и генерация с выходной пиковой мощностью порядка 10 4 Вт.
Ускорители электронов, используемые как источники электронных пучков, работают обычно в импульсном режиме. Длительность импульсов электронного пучка составляет, как правило, величину порядка 1 мкс. Однако эти импульсы отнюдь не являются гладкими, а представляют собой регулярную последовательность коротких сгустков (электронных пакетов) существенно меньшей (обычно пикосекундной) длительности. В некоторых ускорителях оказывается возможным реализовать непрерывную последовательность таких сгустков.
Для замыкания цепи обратной связи необходимо, чтобы временной интервал между сгустками в регулярной последовательности их поступления на вход ондулятора был кратен двойному времени пробега излучения через резонатор. Только в этом случае излучение, созданное электронными сгустками и накопленное в резонаторе лазера при многократных отражениях от его зеркал, поступает в виде волновых пакетов на вход ондулятора синхронно с электронными пакетами и усиливается в течение всего времени существования последовательности электронных сгустков. В результате лазерная генерация осуществляется в виде последовательности коротких импульсов, разделенных интервалами времени, равными или кратными двойному времени прохода излучения между зеркалами резонатора лазера, расстояние между которыми практически равно длине ондулятора.
Немонохроматичность излучения лазера на свободных электронах определяется, таким образом, длительностью электронных сгустков. Сгустки длительностью 3 пс занимают в пространстве область протяженностью примерно 1 мм и приводят к ширине спектра излучения 10 см-1. Увеличение монохроматичности лазеров на свободных электронах требует удлинения электронных сгустков (конечно, при условии сохранения пикового значения электронного тока).
