Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка на

зывается уравнение a₀(x)y′ + a₁(x)y = B(x). (1)

При a₀ ≠ 0 его можно представить в виде: y′ + a(x)y = b(x), (2)

где a(x) = a₁(x)/a₀(x) и b(x) = B(x)/a₀(x).

Если правые части (1) и (2) равны нулю, то эти уравнения называются однородными, в противном случае – неоднородными.

Если в уравнении (1) a₀(x) = a₀ и a₁(x) = a₁, то есть эти функции являются константами, то уравнение (1) называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим однородное уравнение y′ + ay = 0. (3)

Перепишем его в виде: или. Последнюю формулу можно рассматривать как равенство дифференциалов функций одного и того же аргумента x. Интегрируя это равенство, получаем lny = –ax + C, или y = e^{–ax + C}, где C ‑ произвольная константа. Если теперь ввести обозначение e^C = A, то можно представить так называемое общее решение уравнения (3) в виде: = Ae^–ax. (4)

Это решение зависит от неопределенной константы A, придавая которой различные значения, можно получить все множество интегральных кривых уравнения (3). Если мы хотим найти интегральную кривую, проходящую через точку (x₁, y₁), то нужно подставить координаты точки в формулу (4) и определить значение константы A. С этим значением константы A формула (4) будет определять лишь одну интегральную кривую или так называемое частное решение уравнения (3).

Как правило, задача ставится так: найти решение уравнения (3) при условии y(0) = y₀. (5)

Последняя формула называется начальным условием для уравнения (3).

Дифференциальное уравнение (3) при начальном условии (5) имеет единственное решение, которое определяется формулой y(x) = y₀e^–ax. (6)

Заметим, что для задания начального условия, вообще говоря, не обязательно выбирать значение аргумента x, равное нулю. Как сказано выше, выделить единственное решение из множества, задаваемого формулой (4) (то есть определить константу А), можно с помощью любого соотношения y(x₁) = y₁, считая его начальным условием.

Если в уравнении (3) a = 0, то интегрирование приводит к решению y(x) = C, то есть к константе, которая при начальном условии (5) равна y₀. Таким образом решение y(x) сохраняет начальное значение y₀ при изменении x.

Рассмотрим теперь случай неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Пусть дано уравнение y′ + ay = b, (b = cost) (7) с начальным условием y(0) = y₀.

Введем новую неизвестную (считаем, что a ≠ 0). Теперь уравнение (7) примет вид или z′ + az = 0. Как было показано выше, решением последнего уравнения является функция z = z₀e^–ax, где. Возвращаясь к изначальной неизвестной, получаем решение уравнения (7) при заданном начальном условии:. (8)

Если в уравнении (7) a = 0, то его решением при заданном начальном условии будет функция y(x) = bx + y₀.

 

Рис. 11.2. Случай неустойчивого решения

 

Рис. 11.3. Устойчивое решение

 

Заметим, что решение (8) состоит из двух частей: y_h = Ae^–ax ‑ решения однородного уравнения y′+ay = 0 и y₀(x) = b/a ‑ решения, которое назовем равновесным и которое получается, если в уравнении (7) положить y′ = 0. Такое представление позволяет рассматривать решение (8) уравнения (7) как сумму равновесного или фиксированного значения y_e и отклонения или девиации y_h траектории y(x) от равновесного значения. Это отклонение возрастает экспоненциально с ростом x при a < 0 и стремится к нулю при a > 0. В первом случае (a < 0) решение называется неустойчивым, а во втором – устойчивым (асимптотически устойчивым).

Как показано на рисунках 1 и 2, отклонение y_h = (y₀ – y_e)e^–ax от уровня равновесия уменьшается с ростом x при a > 0 и увеличивается с ростом x при a < 0.

В качестве примера рассмотрим динамическую модель Вальраса устойчивости рынка. Она формулируется следующим образом. Имеется несколько продавцов и несколько покупателей некоторого товара. Некий посредник объявляет цену p на товар, после чего каждый продавец сообщает, сколько товара он может продать при такой цене. Суммарное количество товара, выставляемое на продажу при данной цене, называется предложением и будет обозначаться S(p). Также каждый покупатель сообщает, сколько товара он собирается купить при данной цене. Сумма потребностей покупателей в дальнейшем будет называться спросом и обозначаться D(p). Введем понятие избыточного спроса E(p) как разности между спросом и предложением: E(p) = D(p) – S(p). Если E(p) ≥ 0, цена растет до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие, которое определяется равенством спроса и предложения, то есть равенством D(p) = S(p) или E(p) = 0. Если E(p) ≤ 0, то есть имеет место избыточное предложение, происходит снижение цены, пока не наступит равновесие. Здесь уместно сделать самое простое возможное предположение, заключающееся в том, что скорость изменения цены во времени пропорциональна избыточному спросу: малый избыточный спрос вызовет медленное увеличение цены товара, большой избыточный спрос – быстрое увеличение цены, малое избыточное предложение – медленное понижение цены и т. д. Отсюда следует уравнение. Здесь k ‑ положительная константа, отражающая скорость процесса.

Пусть спрос и предложение являются линейными функциями цены: D(p) = α + βp и S(p) = γ + δp. Тогда, приняв начальное условие p(0) = p₀, будем иметь уравнение.

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, которое, как было показано выше, имеет решение, которое устойчиво, если β – δ <0 и неустойчиво при β – δ >0. Но β ‑ тангенс угла наклона кривой спроса, а δ ‑ тангенс угла наклона кривой предложения, и если выполняется условие β – δ <0 (которое верно при убывании спроса и возрастании предложения с ростом цены), рынок устойчив, то есть избыточный спрос снижается и окончательно устраняется возрастающей ценой. Если β – δ >0, рынок неустойчив: будет иметь место непрерывная и неограниченная инфляция.

Рассмотрим теперь линейные дифференциальные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Выпишем такое уравнение в общем виде: у′ + a(x)y = b(x). (9)

Здесь a(x) ‑ некоторая функция аргумента x. Как мы это делали раньше, вначале будем искать решение однородного уравнения, положив функцию b(x) в правой части (9) равной нулю. Представив уравнение у′ + a(x)y = 0 в виде, после интегрирования получаем

или.(10)

Здесь A ‑ неопределенная константа, которую можно найти из начального условия y(0) = 0.

Пример. Решить уравнение y’ + 2xy = 0 при начальном условии y(0) = 3.

В этом случае a(x) = 2 x, и начальное условие определяет A = 3. Искомое решение имеет вид.

Перейдем к решению неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Положим в формуле (10) A = A(x), то есть будем считать множитель A некоторой функцией от x. Этот метод называется методом вариации произвольнойпостоянной, и с его помощью мы попытаемся решить уравнение (9) при условии, что b(x) есть некоторая функция, не равная тождественно нулю. Из формулы (10) получаем:;.

После подстановки этих выражений уравнение (9) принимает вид, откуда следует уравнение относительно функции:, с решением.

Подставив это выражение в (10), получим общее решение уравнения (9):. (11)

Пример. Решить уравнение при начальном условии y(1) = 2. (Заметим, что в данном случае нельзя задавать начальное условие при x = 0, так как это значение не принадлежит области B определения функции F.

Для решения поставленной задачи можно было бы воспользоваться формулой (11), но мы пойдем другим путем: применим метод решения уравнений, которым была получена формула (11).

В нашем уравнении. Решение однородного уравнения получается из формулы (10):. (12)

Реализуем теперь вариацию произвольной константы A, считая, что A = A(x) есть некоторая функция аргумента x. Тогда, и подставив это выражение вместе с приведенным выше выражением для y в исходное уравнение, получим:, откуда следует, что A′(x) = x² или. Если теперь подставить это в формулу (12), то получится общее решение исходного уравнения:. С помощью начального условия найдем значение неопределенной константы C и выпишем решение поставленной задачи:.