Неопределенный интеграл
Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке (a; b), если для всех x∈(a; b) выполняется равенство F′ (x) = f (x).
Например, для функции x 2 первообразной будет функция x 3/3.
Если для F (x) установлено равенство dF (x) = f (x) dx, то F (x) – первообразная для f (x), так как.
Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.
Теорема 1. Если F (x) – первообразная для f (x) на (a; b), то F (x) + C, где C – число, тоже первообразная для f (x) на (a; b).
Доказательство: (F + C) ′ = F′ + C′ = f + 0 = f
По определению F + C – первообразная для f.
Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.
Если функция g (x) постоянна на (a; b), то g′ (x) = 0.
Доказательство: Так как g (x) = C, справедливы равенства: g′ (x) = C′ = 0 (здесь, как и ниже, через C обозначено произвольно выбранное число).
Если g′ (x) = 0 при всех x ∈(a; b), то g (x) = C на (a; b).
Доказательство: Пусть g′ (x) = 0 во всех точках (a; b). Зафиксируем точку x 1∈(a; b). Тогда для любой точки x ∈(a; b) по формуле Лагранжа имеем g (x) – g (x 1) = g′ (ξ)(x – x 1). Так как ξ ∈(x; x 1), а точки x и x 1 принадлежат промежутку (a; b), то g′ (ξ) = 0, откуда следует, что g (x) – g (x 1)=0, то есть g (x) = g (x 1)= const.
Теорема 2. Если F (x) есть первообразная для f (x) на промежутке (a; b), а G (x) – другая первообразная для f (x) на (a; b), то G = F + C, где C –число.
Доказательство: Возьмем производную от разности G – F: (G – F) ′ = G′ – F′ = f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C – число, то есть G = F + C.
Множество всех первообразных для функции f (x) на промежутке (a; b)называется неопределенным интегралом и обозначается ∫ f (x) dx. Если F (x) – первообразная для f (x), то ∫ f (x) dx = F (x) + C, где C – произвольное число.
Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.
Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F′ (x) = f (x) соответствует формула ∫ f (x) dx = F (x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:
Таблица 5.1. Неопределенные интегралы
| 1) ∫ dx = x + C | 7) ∫ cos x dx = sin x + C |
| 2) ∫ xαdx =(α ≠1) | 8) |
| 3) | 9) |
| 4) ∫ exdx = ex + C | 10) |
| 5) ∫ axdx = ax log ae + C (α ≠1) | 11) |
| 6) ∫ sin x dx=- cos x + C | 12) |
Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
Таблица 5.2.
| 1) (∫ f (x) dx) ′=f (x); | 4) ∫ d f (x)= f (x)+ C; |
| 2) ∫ f′ (x) dx = f (x)+ C; | 5) ∫ kf (x) dx=k ∫ f (x) dx; |
| 3) d ∫ f (x) dx= f (x) dx; | 6) ∫(f (x)+ g (x)) dx= ∫ f (x) dx +∫ g (x) dx; |
| 7. Если ∫ f (x) dx = F (x) + C, то ∫ f (ax+b) dx = (a ≠ 0). |
Все эти свойства непосредственно следуют из определения.
Замена переменной в неопределенном интеграле
Если функция f (x) непрерывна, а функция φ (t) имеет непрерывную производную φ′ (t), то имеет место формула ∫ f (φ (t)) φ′ (t) dt = ∫ f(x) dx, где x = φ (t).
Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры обратного перехода.
Примеры. 1. I = ∫ cos(t 3) t 2 dt. Пусть t 3 = x, тогда dx = 3 t 2 dt или t 2 dt = dx/ 3.
.
. Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t.
. Пусть x = cos t, тогда dx = - sin t dt, и
.
. Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и
.
Формула интегрирования по частям
Пусть u (x) и v (x) – дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда (uv) ′ = u′v + v′u
Отсюда следует ∫ (uv) ′dx = ∫ (u′v + v′u) dx = ∫ u′v dx + ∫ v′u dx
Или ∫ uv′ dx = uv – ∫ u′v dx.
Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям: ∫ u (x) dv (x) = u (x) v (x) – ∫ v (x) du (x)
Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям.
Примеры. 1. I = ∫ x cos x dx. Пусть u = x; dv = cos x dx, тогда du = dx; v = sin x. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается: I = x sin x – ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C. I = ∫ (x2 – 3 x + 2) e5xdx. Пусть x2 – 3 x + 2 = u; e5xdx = dv.
Тогда du = (2 x – 3) dx;..
К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая 2 x - 3 = u; e5xdx = dv. Отсюда следует: du = 2 dx;, и окончательно получаем:
;
В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла, стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:
.
Представим дробь в виде суммы двух дробей: и, и попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства получим систему уравнений
с решением. Отсюда следует:.
Полученный интеграл в обиходе обычно называют «высоким логарифмом». Метод, которым он был найден, называется методом «неопределенных коэффициентов». Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.
