Задача Дирихле для уравнения Лапласа с данными граничными условиями: найти функцию 
, определенную на прямоугольнике 
, для которой выполнены следующие условия:
.
Такая функция существует и единственна. В силу симметрии условий относительно прямой 
(вертикальная ось симметрии прямоугольника), решение, в силу своей единственности, также должно быть симметрично: 
.
Аппроксимационные данные:
· по оси абсцисс прямоугольник разбивается на 
интервалов
· по оси ординат прямоугольник разбивается на 
интервалов
Разностная схема строится для чисел 
, аппроксимирующих точное решение в точках с координатами 
, 
, 
.
Граничные условия:
.
То есть в точках границы прямоугольника все значения в узловых точках известны. Трехслойная схема «крест» во внутренних точках сетки выглядит следующим образом:
.
Слагаемые аппроксимируют вторые производные 
и 
точного решения задачи в точке с координатами . Таким образом, мы имеем дело с разностной схемой.
Рассмотрим уравнения схемы в точках 
как СЛУ относительно 
:
В силу упомянутой симметрии решения, для любого выполняются равенства.
и 
.
Таким образом, данная СЛУ сводится к
Решив эту систему относительно ,мы выразим величины через величины 
линейно.
Теперь, для 
, запишем соответствующие уравнения разностной схемы.
Согласно равенствам и , данная система принимает вид.
Перейдем к векторным обозначениям ():
.
В этих обозначениях полученные системы уравнений имеют вид.
.
При этом из граничных условий следует, что
и 
.
То есть мы имеем пять линейных векторных уравнений с пятью неизвестными векторами:
К подобным системам применим формализм метода прогонки.
Именно, предположим, что имеется последовательность матриц 
и векторов 
(
), для которой выполнятся равенства.
Подставляя данное равенство во второе, третье и четвертое уравнение системы, получим.
, 
Как и в выводе формул метода прогонки, полагаем.
Откуда следует, что 
.
Подставляя равенство 
в первое уравнение системы, получим 
. Откуда, как и в классическом методе прогонки, можно заключить, что 
и 
.
Итак, последовательности матриц 
и векторов () определены следующей рекурсией
Эти последовательности легко вычисляются на ЭВМ.
Подставляя равенство 
в последнее уравнение системы, получим 
. Таким образом, обратный ход прогонки задается формулами.
Таблица 2 - реализуя этот алгоритм на ЭВМ, мы получим следующий результат
| |||||||
| 71.86 | 56.43 | 43.01 | 31.08 | 20.19 | ||
| 76.16 | 62.49 | 49.06 | 35.88 | 22.89 |
Таким образом, решение разностной схемы имеет вид.
Таблица 3- решение разностной схемы
| 20.19 | 22.89 | 22.89 | 20.19 | ||
| 31.08 | 35.88 | 35.88 | 31.08 | ||
| 43.01 | 49.06 | 49.06 | 43.01 | ||
| 56.43 | 62.49 | 62.49 | 56.43 | ||
| 71.86 | 76.16 | 76.16 | 71.86 | ||
(началу координат отвечает левая нижняя клетка таблицы).
Листинг программы (матрицы 
обозначены как 
)
Вывод
Выполнено подробное решение задачи Коши аналитическим методом, а так же методом прогонки:
1. Постановка задачи и метод решения.
2. Аналитическое решение.
3. Результаты решения: массивы 
и 
и величина 
.
4. Листинг программы и окно результатов.
Выполнено подробное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа на прямоугольнике методом конечных разностей:
1. Постановка задачи и метод решения.
2. Исследование аппроксимации и устойчивости.
3. Листинг программы и окно результатов