Курсовая работа
по дисциплине «Прикладное программное обеспечение
для математических исследований»
на тему:
«Моделирование физических процессов в твёрдых телах»
Студент: Ильина Галина Александровна
Группа: ТМБО-01-13(ВТ-11), 4 курс
Форма обучения: дневная
Доля авторского текста (оригинальности)
в результате автоматизированной проверки составила ______%.
Работа защищена на оценку ____________ «___» _____________ 2016 г.
Преподаватель: к.ф.-м.н., доцент Шмелева А. Г.
Москва, 2016 г.
Оглавление
1 Введение……………………………………………………………………..…3
2 Задания………………………………………………………………...……....5
3 Задача Коши…………………………………………………............................9
4 Листинг программы прогонки…………………………………………..…..13
5 Задача Дирихле для уравнения Лапласа …………………………………....15
6 Листинг программы ………………………………………………………....21
7 Вывод………………………………………………………………………....22
8 Список используемых источников………………………………………….23
Введение
Прикладное программное обеспечение (ППО) составляют программы конечного пользователя. Это самый обширный класс программного обеспечения. В настоящее время в большинстве сфер человеческой деятельности разработаны и применяются прикладные программные продукты. Везде, где требуется выполнить большие математические расчеты или производится обработка больших объемов разнообразных данных, или требуется быстрый анализ ситуации с принятием управляющего решения, – компьютеры под управлением прикладного программного обеспечения с успехом заменяют человека.
Прикладное программное обеспечения специального назначения используется для более узких задач, а также задач профессионального характера. К ним относятся СУБД информационных систем, программные средства для решения математических задач, экспертные системы и т.д. Рассмотрим программные средства для решения математических задач. Существуют различные программы для решения математических задач такие как Scilab, Maple, Matcad и другие. В этих программах выделяются различные операции: вычисление выражения в аналитическом и в комплексном виде, разложения в ряд, преобразования Лапласа, пределы, интегрирования и другие операций, включающие в эти программы. В данной курсовой работе рассмотрим два задания. В первом задание рассмотрим задачу Коши, решим задачу методом прогонки и вычислим точное решение. Целью данной работе будет подробное решение задачи Коши аналитическим методом, а так же методом прогонки, предварительно запрограммированном в системе wxMaxima.
Хочется заметить что задача Коши очень похожа на обыкновенное решение дифференциальных уравнений, основная разница заключается в том, что в нашей задаче требуется отыскать частное решение, такое решение которое будет удовлетворять какому то конкретному условию поставленной нам задачи.
Одной из интереснейших задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными) является задача Коши, цель которой сводится к поиску правильного решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего данным нам изначально так называемым начальным условиям (начальным данным).
Задача Коши в большинстве случаев предстаёт перед нами при пристальном рассмотрении анализа процессов, построенных на основании дифференциального закона эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие).
Во втором задание рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа на прямоугольнике методом конечных разностей. Для решения использовать явную трёхслойную схему «крест». Построить диаграмму распределения значений функции в виде линий уровня. В итоге мы получим пять линейных векторных уравнений с пятью неизвестными векторами.
Задания
Задание № 1.
1.Решить аналитически задачу Коши. Варианты взять из таблицы 1. Краевое условие в точке b: y(b)=B вычислить, решив аналитически соответствующую задачу Коши:
после нахождения точного решения поставить в него точку b=1, т.е. В=y(1)).
Значения a и b во всех вариантах равны 0 и 1, соответственно [a,b]=[0,1].
2. Решить задачу методом прогонки, шаг h=(b-a)/n.
3. Вычислить точное решение 
с тем же шагом и величину 
.
Таблица 1 - Исходные данные
Задание № 2.
Формулировка задачи: решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа на прямоугольнике 
методом конечных разностей с шагом по осям x и y соответственно hx и hy.,а uл, uп, uн, uв - соответственно значения функции 
на левой, правой, нижней и верхней сторонах прямоугольника. Для решения использовать явную трёхслойную схему «крест». Построить диаграмму распределения значений функции в виде линий уровня.
| Вариант | A | b | hx | hy | uл | uп | uн | uв |
| 1.2 | 0.2 |
Задача 1
Постановка задачи и метод решения.
.
Уравнение
,
является линейным неоднородным уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид
,
где 
– общее решение соответствующего однородного уравнения 
, а 
– произвольное решение уравнения (1.2).
Характеристическим уравнением для однородного уравнения является 
. Его корни 
. Следовательно, общее решение уравнения имеет вид 
. Таким образом,
.
Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, правая часть уравнения (1.2) имеет специальный вид. Будем искать частное решение как
.
Дифференцируя данное выражение
Находим, что 
. Приравнивая правую часть полученного выражения к правой части уравнения (1.2), находим, что 
. Таким образом, мы нашли частное решение уравнения (1.2) в виде 
.
Согласно формулам (1.3) и (1.4), общее решение уравнения (1.2) имеет вид
Имея данное общее решение легко получить решение задачи Коши (1.1).
Очевидно, что 
и 
. То есть 
.
Итак, решение задачи Коши (1.1): 
.
Метод прогонки.
Найдем приближенное решение задачи (1.1) на отрезке 
с шагом 
.
Соответствующая разностная схема имеет вид.
где 
– номера узлов, 
– искомые значения аппроксимирующей функции в узлах, 
. Напомню, что последняя функция является функцией 
из условия.
Перепишем схему в виде.
(2.1)
Значения 
и 
нам известны, поэтому нам нужно решить линейную неоднородную систему из 9 уравнений (2.1).
Приведем ее к виду, пригодному к методу прогонки. Именно, перепишем первое и последнее уравнения:
(2.2)
где 
, 
и 
для остальных индексов.
Результатом метода прогонки, примененной к данной системе, являются соотношениями
,
в которых числа 
определяются соотношениями.
Далее приведены соответствующие массивы.
Таблица 1-массивы
| |||||||||||
|
| 2.1207 | 2.2847 | 2.4955 | 2.7574 | 3.0751 | 3.454 | 3.9003 | 4.421 | 5.024 | 5.7183 | |
| 2.1205 | 2.2843 | 2.495 | 2.7567 | 3.0744 | 3.4533 | 3.8996 | 4.4204 | 5.0236 | 5.7183 | |
| Модуль разности | 0.0002 | 0.0004 | 0.0006 | 0.0007 | 0.0007 | 0.0007 | 0.0007 | 0.0005 | 0.0003 |
Графики практически сливаются
Рисунок 1- Значения в узлах приближенного и точного решений значения в узлах приближенного и точного решений
Листинг программы прогонки в системе wxMaxima
В последней таблице (окно результатов) первая и вторая колонки – это значения в узлах приближенного и точного решений. Последний столбец – абсолютные величины их разностей. Параметр 
здесь не число интервалов аппроксимации, а число узло. В силу специфики программной среды – индексы начинаются с 1 – они сдвинуты, то есть 
, 
и т.д. Значения точного решения в точках сетки обозначены 
.
Задача 2
