Теория.
Приращение 
функции 
представимо в виде:
,
где функция 
является бесконечно маленькой функцией при стремлении аргумента 
к нулю.
Так как 
, то 
В силу того, что второе слагаемое 
является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому 
А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.
Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула: 
.
Пример 1. Вычислить приближенно 
, заменяя приращение функции ее дифференциалом.
Решение:
· Рассмотрим функцию 
. Необходимо вычислить ее значение в точке 
.
· Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула: .
· Величину х представим в виде 
, т. е. 
, тогда 
, 
.
· Вычислим значение функции в точке : 
.
· Продифференцируем рассматриваемую функцию: 
.
· Найдем значение 
: 
.
· Итак, 
.
Ответ. 
.
Пример 2.С помощью дифференциала вычислить приближенно.
Решение:
· Рассмотрим функцию 
. Необходимо вычислить ее значение в точке 
.
· Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула: 
.
· Величину х представим в виде , т. е. 
, тогда 
, 
.
· Вычислим значение функции 
в точке :
.
· Продифференцируем рассматриваемую функцию: 
· Найдем значение : 
.
· Подставляя все в формулу, окончательно получим: 
Ответ. 
Пример 3. С помощью дифференциала вычислить приближенно.
Решение:
· Рассмотрим функцию 
. Необходимо вычислить ее значение в точке 
.
· Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула: .
· Величину х представим в виде , т. е. 
, тогда 
, 
.
· Вычислим значение функции в точке :
.
· Продифференцируем рассматриваемую функцию: 
.
· Найдем значение : 
.
· Подставляя все в формулу, окончательно получим: 
Ответ. 
Пример 4. С помощью дифференциала вычислить приближенно.
Решение:
· Рассмотрим функцию 
. Необходимо вычислить ее значение в точке 
.
· Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула: .
· Величину х представим в виде , т. е. 
, тогда 
, 
.
· Вычислим значение функции в точке :
.
· Продифференцируем рассматриваемую функцию: 
.
· Найдем значение : 
.
· Подставляя все в формулу, окончательно получим: 
Ответ. 
Пример 5. С помощью дифференциала вычислить приближенно 
.
Решение:
· Рассмотрим функцию 
. Необходимо вычислить ее значение в точке 
.
· Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула: .
· Величину х представим в виде , т. е. 
, тогда 
, 
.
· Переведём градусы в радианы: 
, 
· Вычислим значение функции в точке :
.
· Продифференцируем рассматриваемую функцию: 
.
· Найдем значение : 
· Подставляя все в формулу, окончательно получим: 
Ответ. 
Задания для самостоятельной работы.
| 1 вариант | 2 вариант | 3 вариант |
С помощью дифференциала вычислить приближенно:
1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .
| С помощью дифференциала вычислить приближенно:
1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .
| С помощью дифференциала вычислить приближенно:
1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .
|
| 4 вариант | 5 вариант | 6 вариант |
С помощью дифференциала вычислить приближенно:
1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  .
| С помощью дифференциала вычислить приближенно:
1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.
| С помощью дифференциала вычислить приближенно:
1.  ;
2.  ;
3.  ;
4. 
|
