Рассмотрим краевую задачу для нестационарного уравнения теплопроводности
(2.16)
Зададим начальное условие 
и различные граничные условия на разных участках границы:
(2.17)
Обозначим через 
функцию на нижнем временном слое (
‑ шаг сетки по 
) и запишем полудискретизованную по времени неявную схему для уравнения (2.16). Домножим её на пробную функцию 
и проинтегрируем по области 
. Будем иметь
Применяя формулу Гаусса-Остроградского и учитывая при этом граничные условия (2.17), получим
(2.18)
Это уравнение должно быть дополнено граничным условием Дирихле (2.17). Призаписи (2.18) учтено, что пробная функция равна нулю на участке 
границы 
.
В дальнейшем для простоты будем считать, что коэффициенты 
постоянны. Кроме того, удобно доопределить параметры 
нулём на той части границы , где они не заданы. Тогда интегральное тождество (2.18) можно записать чуть более компактно:
(2.19)
Замечание 1. Правая часть 
исходного уравнения может содержать как распределенные, так и сосредоточенные источники тепла, например
,
где 
‑ дельта-функция Дирака. В этом случае первый интеграл в правой части (2.19) будет равен
. (2.20)
Замечание 2. Интегральное тождество (2.19) не учитывает граничного условия Дирихле на ; оно должно учитываться отдельно. Для этого существуют несколько приёмов, основанных на модификации матрицы и правой части системы сеточных (алгебраических) уравнений, которые будут построены на основе интегрального тождества (2.19). Однако можно указать способ приближенного учета условий Дирихле уже на стадии записи интегрального тождества. Он состоит в том, чтобы вместо первого из граничных условий (2.17) записать граничное условие 3-го рода в виде
Очевидно, что если разделить это равентство на очень большое число 
, то получим следующее приближение:
.
При этом структура интегрального тождества (2.19) не меняется, следует лишь должным образом задать коэффициенты 
на разных участках границы.
Лекция 3. Система уравнений МКЭ
Сетка МКЭ
Покроем область сеткой конечных элементов 
, 
, так чтобы 
.
Тогда 
. Звёздочка означает, что при интегрировании по границе в сумму входят лишь те конечные элементы , границы которых 
хотя частично лежат на границе области .
Рассмотрим отдельный конечный элемент. Например это многоугольник. Пусть он имеет 
узлов. Тогда можно ввести базисные функции этого элемента 
. Эти функции линейно независимы и нормированы так, что 
. Произвольная функция 
на элементе может быть представлена разложением по базису
(3.1)
Индекс 
обозначает принадлежность к -му элементу. В дальнейшем, если это не приводит к недоразумениям, индекс часто будем опускать. Индекс 
используется для локальной нумерации узлов конечного элемента. Следует отметить, что локальные узлы элемента могут совпадать с вершинами многоуголника 
, а могут и не совпадать с ними, как показано на рис. 3.1. Наряду с локальной вводят сквозную глобальную нумерацию узлов. Соответствие локальных и глобальных номеров, их координаты, а также связность (т.е. указание, какие узлы образуют элемент) задаётся с помощью двух основных таблиц, которые представляют МКЭ-сетку.
Рис. 3.1. Трехузловой, шестиузловой и десятиузловой
треугольные конечные элементы
Таблица 1. Узлы
| № | x | y | b | z |
| i | 
| 
| 
| 
|
| N |
Поле 
(bound) используется, чтобы отличить внутренние узлы (
) от граничных (
). Признак 
позволяет в программе, использующей эту сетку, задавать нужное граничное условие; например, если 
, ‑ то это условие Дирихле, если 
, ‑ то ставится условие Неймана, и т.д. на разных участках границы . Поле 
(zone) используется, чтобы задавать различные функции для коэффициентов решаемой задачи; например коэффициент теплопроводности в композитных материалах: 
‑ сталь, 
‑ аллюминий и т.д.
Таблица 1 не позволяет нарисовать МКЭ-сетку, а только узлы. Это значит, что требуется еще одна таблица элементов, или таблица связности, в которой указывались бы связи узлов ребрами и то, какие узлы образуют элемент.
Таблица 2. Элементы
| № | n1 | n2 | n3 | … | nm | z |
| j | ||||||
| M |
Строка таблицы элементов показывает, что конечный элемент ‑ это треугольник с вершинами в узлах 213, 45 и 41246 и расположенный в зоне 3. Таким образом, эта таблица указывает соответствие локальных и глобальных номеров узлов. При этом локальный порядок нумерации определен заранее, например как показано на рис. 3.1. Принято, чтобы «основные» узлы элемента, т.е. узлы, совпадающие с вершинами многоугольника, нумеровались против хода часовой стрелки.
С томощью двух таблиц – узлов и элементов – легко нарисовать МКЭ-сетку. Для этого в цикле рисуем каждый элемент. Конечный элемент рисуется так: в строке таблицы 2 последовательно берутся глобальные номера 
, для каждого из них в строках таблицы 1 берутся координаты и узлы соединяются ребрами в порядке 
. Таким образом, таблицы узлов и элементов однозначно определяют МКЭ-сетку. На практике наряду с этими таблицами удобно пользоваться таблицами инцидентности (или таблицами соседей). Так, для фрагмента сетки, показанной на рис. 3.2 таблицы 3, 4 инцидентых узлов и элементов выглядят так (заполнены только 1-я и 19-я строки)
Рис. 3.2. Фрагмент МКЭ-сетки
Таблица 3. Инцидентные узлы
| № | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | … | ep |
| N |
Таблица 4. Инцидентные элементы
| № | k1 | k2 | k3 | k4 | k5 | k6 | … | kz |
| N |
