М К Э
Лекция 1. Метод Галёркина
Об ортогональности функций
Пусть 
‑ область изменения 
, а 
‑ функции, определенные в . Через 
обозначим класс этих функций.
а) Если 
. Обозначение: 
.
б) Пусть ‑ полная в система базисных функций. Тогда любая функция 
представима в виде разложения по базису
,
где коэффициенты 
определяются однозначно. Базисные функции линейно независимы, т.е. из равенства 
следует, что все коэффициенты равны нулю. Но тогда и 
. Итак, если функция ортогональна системе базисных функций, то она тождественно равна нулю.
Метод взвешенных невязок
Рассмотрим уравнение
. (1.1)
Пусть 
‑ приближение к решению 
уравнения (1). Обозначим через
(1.2)
невязку уравнения (1) на этом приближенном решении. Пусть, далее, 
‑ система базисных функций. Тогда можно записать
.
Чтобы найти коэффициенты 
, потребуем, чтобы невязка 
была ортогональна некоторой системе весовых функций 
, т.е.
(1.3)
Метод Галеркина
Галеркин использовал базисные функции вместо весовых, что приводит к следующей системе линейных уравнений относительно искомых коэффициентов разложения 
или
(1.4)
Замечание. В конечномерном пространстве 
, и система уравнений (4) становится конечной.
Пример применения метода Галеркина.
Решим задачу
(1.5)
Точное решение этой задачи очевидно: 
. Выберем систему базисных функций
(1.6)
и запишем решение в виде разложения по базису,
. (1.7)
В разложении (7) искомыми являются коффициенты . Полагая 
, находим 
. Пусть 
, тогда осталось найти 
. Подставим (7) в (5) и вычислим невязку
.
Потребуем 
. Получим систему уравнений
Вычислим интегралы и получим
Решение этой системы таково: 
, а приближенное решение (7) задачи (5) есть парабола
.
График этой функции в сравнении с точным решением 
показан на рисунке
Базисные функции с кончным носителем
До сих пор мы рассматривали базисные функции, определенные всюду в . Часто такой выбор неудобен; напимер при выборе 
при большом 
получаются полиномы высокого порядка, что затрудняет вычисления. В МКЭ обычно применяют базисные функции с конечным носителем, который связан с триангуляцией области, т.е. с ее сеточным разбиением на конечные элементы. Рассмотрим простейший пример равномерной сетки на отрезке 
с узлами 
Для каждого узла определим т.н. пирамидальную базисную функцию
(1.8)
Заметим, что
(1.9)
Поэтому, во-первых, такая система базисных функций линейно-независима, а во-вторых, коэффициенты разложения (7) любой функции по этому базису будут равны значениям функции в узлах сетки, 
.
Лекция 2. Слабая (обобщенная) форма постановки краевых задач для дифференциальных уранений
Пусть 
‑ дифференциальный оператор, и требуется решить задачу 
. Умножим это уравнение на произвольную пробную функцию 
и проинтегрируем по области . Получим
(2.1)
Это уравнение должно выполняться 
. Оно называется слабой формой исходного дифференциального уравнения. Идейно слабая форма (2.1) связана с подходом Галеркина или методом взвешенных невязок, поскольку может быть представлена в виде
.
Часто при записи обобщенных формулировок задач вместот интегралов используют эквивалентный символ скалярного произведения:
(2.2)
Чтобы получить из (2.1) или (2.2) систему уравнений для узловых значений, достаточно
1) провести триангуляцию области;
2) выбрать ассоциированную с триангуляцией конечную систему базисных функций, обладающую свойством (9);
3) записать метод Галеркина (
)
(2.3)
или
(2.4)
Пример использования базисных функций с конечным носителем.
Решим задачу теплопроводности
. (2.5)
Точное решение задачи (2.5) 
. Введем сетку
;
выберем пирамидальные базисные функции (1.8) и подсчитаем их производные:
(2.6)
Используя представление приближенного решения
(2.7)
и граничные условия в точках 
и 
, получаем
Таким образом, осталось найти коэффициент 
. Для этого достаточно определить вторую строку системы уравнений (2.4), а именно коэффициенты 
. Непосредственное применение формул (2.4) для вычисления 
невозможно, поскольку предполагает вычисления вторых производных от линейных базисных функций (2.6). Это отражает очевидный факт, что линейные функции не могут служить базисом в классе дважды дифференцируемых функций, которому принадлежит решение исходной дифференциальной задачи. Однако если ослабить требование гладкости, то с помощью формулы интегрирования по частям можно записать
(2.8)
В правую часть формулы (2.8) теперь входят лишь первые производные базисных функций, которые определены в (2.6). При этом, несмотря на то, что производные терпят разрыв в узлах сетки, можно вычислить
(2.9)
Заметим, что для интересующих нас коэффициентов 
подстановка в правой части (2.9) равна нулю, т.к. 
. Окончательно при 
получим формулу
(2.10)
Подставляя в (2.10) нужные значения производных из (2.6), найдем 
, 
, 
. Правая часть уравнения вычисляется интегрированием
.
Итак, второе уравнение системы уравнений для определения коэффициентов разложения имеет вид
. (2.11)
Нетрудно видеть, что уравнение (2.11) совпадает с конечно-разностной аппроксимацией исходного уравнения в центральном узле сетки.
Ранее с помощью граничных условий было установлено, что 
, так что из (2.11) легко найти 
. Окончательно приближенное решение задачи методом Галёркина имеет вид
.
На рисунке показан график этой функции в сравнении с точным решением .
