Плотность распределения вероятностей и ее свойства

Плотностью распределения вероятностей f (x) непрерывной случайной величины Х называется первая производная от функции распределения, т.е.

(5.6)

Из формулы (5.6) следует, что функция распределения, в свою очередь, является первообразной от функции плотности. Именно поэтому функцию плотности иногда называют дифференциальной функцией распределения, а, как уже было отмечено, функцию распределения – интегральной.

Функция плотности является в некотором смысле более "удобной" функцией для характеристики распределения непрерывной случайной величины. По функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки вещественной оси. Эта задача более успешно может быть решена с помощью функции плотности.

К понятию функции плотности можно придти через механическую интерпретацию. Для этого вначале вспомним дискретную случайную величину и ее ряд распределения:

Х	х ₁	х ₂	…	х _n
Р	р ₁	р ₂	…	р _n

Так как р ₁+ р ₂+…+ р _n=1, то можно, например, предположить, что некая масса в один килограмм распределена между точками х ₁, х ₂, …, х _n в количествах, равных соответствующим вероятностям р ₁, р ₂, …, р _n. Пусть теперь общая масса не сосредоточена в отдельных точках х ₁, х ₂, …, х _n, а как-то непрерывно "размазана" по вещественной оси, в общем случае, с неравномерной плотностью.

Рассмотрим некоторый участок [ x, x +Δ х) вещественной оси. Вероятность Р (х ≤ Х < x +Δ х) попадания случайной величины на данный участок может интерпретироваться как количество общей массы приходящейся на этот участок. Средняя плотность – это отношение рассмотренной массы к длине участка, т.е. .

Так как вероятность попадания значений случайной величины на некоторый участок равна приращению функции распределения на этом участке, то средняя плотность будет равна: .

Для определения плотности в какой-то точке х, необходимо в правой части последнего равенства перейти к пределу при Δ х →0, т.е. когда длина рассматриваемого участка стремиться к нулю, получим

Последнее равенство вытекает из определения производной. Эта производная существует, так как в определении непрерывной случайной величины было введено условие дифференцируемости функции распределения.

Еще раз подчеркнем, что функция плотности существует только для непрерывных случайных величин и является одной из, наиболее часто применяемых на практике, форм закона распределения вероятностей этих величин.

Если непрерывная случайная величина Х имеет функцию плотности (или просто плотность) f (х), то говорят, что эта величина имеет распределение (или просто распределена) с плотностью f (х).

График функции плотности называется кривой распределения.

Из формулы (5.6) ясно, что, в свою очередь, функция распределения является первообразной для функции плотности. Следовательно, эти функции связывает формула Ньютона-Лейбница нахождения определенного интеграла из математического анализа: .

Так как правая часть этой формулы по свойству функции распределения равна вероятности попадания случайной величины на интервал (a, b), то имеет место следующая формула:

Таким образом была доказана следующая теорема.

Теорема 5.1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), вычисляется по формуле:

(5.7)

Формула (5.7) имеет простой геометрический смысл: вероятность попадания случайной величины на интервал (a, b) численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x), осью Ох и прямыми х = а и х = b.

Рис.5.7.

Пример 5.4. По заданной функции распределения

найти функцию плотности распределения, построить графики обеих функций и найти вероятность, того, что значение случайной величины Х попадет в интервал (0,5; 0,75).

Решение. Найдем функцию плотности, используя формулу (5.6), получим