Функция распределения дискретной случайной

Величины.

Пусть дискретная случайная величина имеет закон распределения, записанный в виде ряда распределения:

Х	х 1	х 2	…	х n
Р	р 1	р 2	…	р n

Функция распределения данной случайной величины может быть вычислена по формуле:

, (5.5)

где неравенство х _k < х под знаком суммы означает, что суммирование ведется по всем х _k, величина которых меньше х.

Из формулы (5.5) видно, что функция F (x) представляет собой ступенчатую неубывающую функцию, растущую только в точках х _k скачками, равными по величине р _k; k =1,2,…, n; график функции распределения будет иметь следующий вид (рис.5.3):

 

Рис.5.3.

Пример 5.2. Построить функцию распределения случайной величины Х, заданной следующим законом:

 

Х
Р	0,2	0,3	0,2	0,2	0,1

 

и найти следующую вероятность

Решение. Если х ≤1, то F (x)=0;

если 1< х ≤2, то F (x)= Р (Х =1)=0,2;

если 2< х ≤3, то F (x)= Р (Х =1)+ Р (Х =2)=0,2+0,3=0,5;

если 3< х ≤4, то F (x)= Р (Х =1)+ Р (Х =2)+ Р (Х =3)=0,2+0,3+0,2=0,7;

если 4< х ≤5, то F (x)= Р (Х =1)+ Р (Х =2)+ Р (Х =3)+ Р (Х =4)=

=0,2+0,3+0,2+0,2=0,9;

если х >5, то F (x)= Р (Х =1)+ Р (Х =2)+ Р (Х =3)+ Р (Х =4)+ Р (Х =5)=

=0,2+0,3+0,2+0,2+0,1=1.

Построим график, получим (рис.5.4):

Рис.5.4.

Найдем , используя формулу 5.3, получим

. ■

 

Функция распределения непрерывной случайной

Величины

Рассмотрим график функции распределения дискретной случайной величины (рис.5.3). Будем увеличивать число значений этой величины, тогда, очевидно, число ступенек будет также увеличиваться, их длина уменьшаться и также будут уменьшаться расстояния между ступеньками. При неограниченном увеличении числа значений ступенчатая фигура будет приближаться к некой плавной непрерывной линии. В пределе, в идеальном варианте такого положения появляется функция F (x), которая является непрерывной.

 

Рис.5.5.

Теперь можно уточнить определение непрерывной случайной величины.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме быть может, отдельных точек, где она терпит излом.

Пример 5.3. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Построить график этой функции и найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, попадающее в интервал (0, 1).

Решение. Отметим на оси абсцисс точки х = −1 и х = 2. Вся вещественная ось разобьется на три промежутка, для каждого из которых функция распределения имеет свой вид. Общий график функции выглядит следующим образом:

 

Рис.5.6.

Найдем Р (0 < X < 1). Применим формулу (5.3), получим

. ■

Функция распределения является неубывающей, непрерывной слева (или просто непрерывной) и удовлетворяющей условиям: F (–∞)=0 и F (+∞)=1 функцией. Верно и обратное: каждая функция, удовлетворяющая перечисленным условиям, может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

Необходимо отметить, что каждая случайная величина однозначно определяет свою функцию распределения, но не наоборот. Можно указать сколько угодно различных случайных величин, имеющих одну и ту же функцию распределения.

Итак, функция распределения является законом распределения для любой случайной величины. Однако, также как для дискретной существует своя форма закона распределения – ряд распределения, так и для непрерывной случайной величины существует своя особая форма закона распределения – функция плотности.