Показательное распределение

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется показательным или экспоненциальным, если функция плотности этой величины имеет вид:

, (7.5)

где λ – постоянная положительная величина, называемая параметром данного распределения.

График показательного распределения имеет вид (рис.7.3):

 

 

Рис.7.3.

Одним из преимуществ показательного распределения является то, что оно зависит только от одного параметра λ.

Найдем функцию распределения показательного закона. Используем формулу (5.8) и, прежде всего, найдем выражение F (x) для положительных х:

.

При х ≤ 0 функция F (x) = 0. Таким образом,

.

График функции распределения имеет вид (рис.7.4):

 

 

Рис.7.4.

Найдем основные числовые характеристики случайной величины, распределенной по показательному закону.

По формуле (6.2) находим математическое ожидание:

.

При нахождении интеграла использовалась формула интегрирования по частям, и учитывалось, что при х →+∞ функция стремиться к нулю быстрее, чем возрастает любая степень х.

Таким образом, математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону, обратно его параметру λ.

По формуле (6.6) найдем дисперсию, получим

.

Для нахождения дисперсии формула интегрирования по частям применялась дважды.

Среднеквадратическое отклонение равно .

Итак, для показательного распределения среднеквадратическое отклонение совпадает с математическим ожиданием.

Чтобы найти асимметрию показательного распределения найдем его третий центральный момент, при этом для нахождения интеграла формулу интегрирования по частям приходится применить трижды.

.

и, следовательно, коэффициент асимметрии . Как и следовало ожидать, асимметрия показательного распределения положительна.

Для нахождения эксцесса поступаем аналогично, но находим четвертый центральный момент, после преобразований, получим Е_k =6.

Найдем вероятность попадания в интервал (а, b) непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону. Для этого будем использовать функцию распределения и формулу (5.3):

.

Значения функции находят по таблице.

Показательное распределение имеют, например, величины срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий. Показательное распределение играет большую роль в теории марковских случайных процессов, теории массового обслуживания и теории надежности.

Нормальный закон распределения непрерывной

Случайной величины

 

Нормальный закон распределения или закон Гаусса играет огромную роль в теории вероятностей и ее приложениях и занимает исключительно важное, особое положение. Нормальный закон распределения является предельным законом при определенных условиях для некоторых других законов распределения.

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется нормальным или законом Гаусса, если функция плотности этой величины имеет вид:

, (7.6)

где т и σ – некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.

Найдем функцию распределения нормального закона. На основании формулы (5.8) получим

.

Найдем числовые характеристики нормально распределенной случайной величины. По определению

.

Введем новую переменную по формуле . Тогда , а , причем, очевидно, что пределы интегрирования остаются теми же. Итак, получаем

.

Первый из интегралов в правой части полученного равенства равен нулю как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах, а второй интеграл – это интеграл Пуассона, который равен . Следовательно,

.

Таким образом, параметр т нормального распределения равен математическому ожиданию соответствующей случайной величины, т.е. т = М (Х).

Учтем полученный результат при нахождении дисперсии:

Введем новую переменную по формуле . В результате чего получим

.

Далее, после применения формулы интегрирования по частям, получим

.

Первое слагаемое в скобках равно нулю, так как по правилу Лопиталя, а второе слагаемое, уже известный интеграл Пуассона, равно .

Отсюда, .

Итак, дисперсия нормально распределенной случайной величины Х равна квадрату второго параметра, т.е. , а, следовательно, сам второй параметр определяет среднеквадратическое отклонение. В дальнейшем, для нормально распределенной случайной величины будем использовать следующие обозначения: и .

Параметры нормального распределения имеют простую геометрическую интерпретацию. Для того чтобы это понять исследуем функцию плотности и построим ее график. Исследование будем проводить по общей схемы из классического математического анализа.

Итак, исследуется функция .

1. Областью определения функции f (x) является вся вещественная прямая.

2. Функция f (x) может принимать только положительные значения, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения, а среднеквадратическое отклонение и арифметический корень также отрицательными быть не могут.

3. Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой, так как

.

4. Функция f (x) в точке х = т имеет экстремум, равный

.

Для доказательства возьмем первую производную и приравняем ее к нулю, получим

.

При переходе через точку х = т производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке х = т функция f (x) имеет максимум. Кроме этого, очевидно, что на промежутке функция f (x) возрастает, а на промежутке функция f (x) убывает.

5. График функции f (x) симметричен относительно прямой х = т.

6. График функции f (x) в точках имеет перегиб.

Для доказательства возьмем вторую производную и приравняем ее к нулю, получим

.

При переходе через эти точки вторая производная меняет знак, следовательно, являются точками перегиба.

На основании полученного исследования строим график функции плотности нормального распределения f (x).

Кривая нормального распределения имеет симметричный холмообразный вид:

 

 

Рис.7.5.

Выясним, как влияют параметры нормального распределения на график функции плотности.

При изменении т кривая f (x), не изменяя своей формы, будет смещаться вдоль оси абсцисс влево или вправо, в зависимости от того уменьшаться или увеличиваться будет число т: т ₁ < т < т ₂

 

Рис.7.6.

При изменении σ будет меняться масштаб кривой по обеим осям. При этом график функции будет либо вытягиваться вверх (при уменьшении σ), либо кривая будет становиться более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс (при увеличении σ):

 

Рис.7.7.

Используя определение центральных моментов для нормального распределения и метод замены переменной при нахождении интегралов, можно получить следующее рекуррентное соотношение:

.

Данная формула позволяет выражать центральные моменты более высоких порядков через центральные моменты более низких порядков. Так, например, очевидно, что все центральные моменты нечетного порядка равны нулю, так как μ ₁=0. Таким образом, асимметрия, равная центральному моменту, равна нулю, следовательно, распределение симметрично относительно своего математического ожидания, что и было использовано при построении графика функции плотности. Выше было найдено значение дисперсии D (X)= σ ². Так как дисперсия – это второй центральный момент, то μ ₂= σ ². Используя рекуррентную формулу, найдем центральный момент четвертого порядка: μ ₄=3 σ ² μ ₂=3 σ ⁴, а затем эксцесс: .

В шестой главе было рассмотрено понятие стандартной случайной величины и доказана теорема о том, что математическое ожидание стандартной величины равно 0, а дисперсия – 1. Для нормального распределения тоже можно указать стандартную случайную величину, т.е. величину, параметры которой равны т =0 и σ =1. Функция плотности стандартной нормально распределенной случайной величины равна

(7.7)

Итак, формула (7.7) определяет функцию плотности распределения случайной величины , где Х – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами т и σ. Значения функции приведены в приложении 1.

Вычислим вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на некоторый интервал (а, b). Но прежде напомним определение некоторой специальной функции.

Функцией Лапласа или интегралом вероятностей Ф(х) называется следующий определенный интеграл

(7.8)

Интеграл в формуле (7.8) не выражается через элементарные функции, но для нахождения значений функции Ф(х) существует таблица (приложение 2).

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1. Ф(0)=0;

2. Ф(– х)=–Ф(х) – функция нечетная;

3. Ф(–∞)=–0,5; Ф(+∞)=0,5.

Необходимо отметить, что в некоторых учебниках по теории вероятностей за функцию Лапласа принимают не функцию (7.8), а другую, отличающуюся от нее постоянным множителем.

Перейдем теперь к нахождению вероятности попадания случайной величины на интервал. Используем формулу (5.7) и (7.6), получим

.

Сделав в последнем интеграле замену переменной и применив формулу (7.8), получим

Итак, вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х на интервал (а; b) может быть вычислена по формуле

(7.9)

С помощью формулы (7.9) можно функцию распределения F (x) выразить через функцию Лапласа, а именно

.

Пример 7.5. Завод изготавливает шарики для подшипников, номинальный диаметр которых равен 10 мм, а фактический диаметр случаен и распределен по нормальному закону с т =10 мм и σ =0,4 мм. При контроле бракуются все шарики, не проходящие через круглое отверстие с диаметром d ₁=10,7 мм и все, проходящие через круглое отверстие с диаметром d ₂=9,3 мм. Найти процент брака.

Решение. Пусть Х – фактический диаметр. Так как по условию задачи Х распределена по нормальному закону, то можно применить формулу (7.9) и найти вероятность того, шарик не попадет в брак, т.е. диаметр окажется в допустимых пределах

При нахождении значения функции Ф(1,75) использовалась таблица значений функции Лапласа (приложение 2). Отсюда вероятность того, что шарик окажется бракованным, равна 1− 0,918 = 0,082. Следовательно, 8,2% шариков будут забракованы. ■

Пример 7.6. Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами т =20 и σ =10. Найти вероятность того, что отклонение значений этой случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине будет меньше трех.

Решение. По условию задачи необходимо найти следующую вероятность

.

Применяя формулу (7.9), получим

.■

Решение примера 7.6 дает следующий частный случай формулы (7.9).

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины с параметрами т и σ на участок длиной 2 h, симметричный относительно центра рассеивания вычисляется по формуле

(7.10)

Пример 7.7. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами т и σ. Найти вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания не больше, чем 3 σ.

Решение. По условию задачи, нужно найти вероятность Применим формулу (7.10), получим

.■

Вероятность, полученная в решении примера 7.7, достаточно велика. Кроме этого, она не зависит от величины математического ожидания. На основе этого результата можно предположить, что почти все значения случайной величины не отступают от математического ожидания на величину большую, чем 3 σ. Иначе говоря, вероятность того, что то или иное значение величины Х не попадает в интервал с границами т ±3 σ равна 0,0027, т.е. близка к нулю. Это означает, что лишь в 0,27% случаев такое может произойти. Такие события практически можно считать невозможными. По сути, здесь было выведено одно из очень важных правил, относящихся к нормально распределенным случайным величинам, так называемое "правило трех сигм".

Правило трех сигм. Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону. Тогда отклонение этой величины от своего математического ожидания по абсолютной величине практически не превышает утроенного среднеквадратического отклонения.

По этому правилу считают, что возможные значения нормально распределенной случайной величины практически не выходят за пределы интервала [ m – 3 σ, m + 3 σ ]. Поэтому функцию плотности, в основном, и строят на этом интервале. Кроме этого, "правило трех сигм" может быть применено и для установления закона распределения некоторой случайной величины. Так, например, если закон распределения случайной величины Х неизвестен, само правило для этой величины выполняется, то есть основания предположить, что случайная величина Х распределена по нормальному закону.

Особая роль, которую играет нормальный закон распределения в теории вероятностей, связана с одним его замечательным свойством. Оказывается, что сумма достаточно большого числа независимых случайных величин, подчиняющихся каким угодно законам распределения, приближенно описывается нормальным законом распределения, причем тем точнее, чем больше число случайных величин суммируется. Например, при массовом изготовлении гаек разброс значений их диаметра связан со случайными отклонениями характеристик материала, колебаниями температуры, вибрациями станка, изменениями напряжения в электросети, стачиванием инструмента и т.д. Все эти случайные факторы действуют примерно в одинаковой мере и независимо друг от друга. Они суммируются, и в результате фактический диаметр гайки оказывается непрерывной случайной величиной, описываемой нормальным законом распределения. Математическое ожидание этой величины есть, очевидно, эталонное значение диаметра гайки, а дисперсия характеризует степень разброса фактических значений диаметра около эталонного значения.

Аналогично рассуждая, можно придти к выводу, что очень многие ошибки измерения также имеют нормальный закон распределения. Как уже отмечалось, нормальное распределение иногда называют распределением Гаусса. В работах Гаусса это распределение и рассматривалось в связи с исследованиями по теории ошибок.

Само понятие нормального распределения впервые появилось в работе Муавра как предельная форма биномиального распределения.

В заключение, рассмотрим еще одну задачу.

Пример 7.8. Считается, что отклонение длины изготавливаемых изделий от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина равна т =40 см и σ =0,4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?

Решение. Пусть точность равна ε. Тогда по условию задачи должно выполняться неравенство . Найдем значение ε, при котором достигается равенство, получим

. ■