Геометрический закон распределения

 

Пусть производятся независимые испытания, число которых не ограничивается. В каждом испытании возможно появление некоторого события А. Вероятность появления этого события постоянна для каждого испытания и равна р. Очевидно, что вероятность не появления этого события для каждого испытания также будет постоянной и равной q =1− р. Пусть случайная величина Х равна числу испытаний, которые нужно провести до первого появления события А, при этом как только событие А появляется, так испытания заканчиваются. Очевидно, что возможными значениями Х являются

х ₁=1 – событие А появилось в первом испытании;

х ₂=2 – событие А не появилось в первом испытании, а появилось во втором;

х ₃=3 – событие А не появилось в первых двух испытаниях, а появилось во третьем;

................................................................

х_т = т – событие А не появилось в первых т -1 испытаниях, а появилось в т -ом испытании;

................................................................

Найдем вероятности этих значений, используя теорему умножения вероятностей, получим

р ₁ = Р (Х = 1) = р;

р ₂ = Р (Х = 2) = qр;

р ₃ = Р (Х = 3) = q ² р;

р ₄ = Р (Х = 4) = q ³ р;

……………….

р_т = Р (Х = т) = q^{т -1} р;

…………………….

Геометрическим законом распределения называется распределение дискретной случайной величины Х, для которой возможными значениями являются целые положительные числа, а вероятности р_т этих значений находятся по формуле

р_т = Р (Х = т) = q^{т -1} р,

где 0 < р < 1; q = 1 − р; т = 0,1,2,….

Вероятности р_т для последовательных значений т образуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q, от чего и происходит название данного распределения.

Ряд распределения случайной величины, распределенной по геометрическому закону, имеет вид

Х				…	т	…
Р	р	рq	pq 2	…	pq m-1	…

 

Легко убедиться, что сумма вероятностей второй строки равна 1, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Действительно,

.

Пример 7.3. Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Построить ряд распределения случайной величины Х, равной числу произведенных выстрелов.

Решение. Случайная величина может принимать следующие значения:

х ₁ = 1 – попали при первом выстреле;

х ₂ = 2 – попали при втором выстреле;

х ₃ = 3 – попали при третьем выстреле;

................................

х_т = т – попали при т выстреле;

................................

Вероятности этих значений равны

р ₁ = 0,8; р ₂ = 0,2·0,8; р ₃ = 0,2²·0,8; …, р_т = 0,2 ^{т -1}·0,8; ….

Итак, ряд распределения имеет следующий вид:

Х				…	т	…
Р	0,8	0,2·0,8	0,22·0,8	…	0,2 т -1·0,8	…

■

Теорема 7.4. Пусть случайная величина Х распределена по геометрическому закону. Тогда ее математическое ожидание определяются по формуле .

Доказательство. По определению математического ожидания, используя ряд распределения случайной величины, распределенной по геометрическому закону, получим

При выводе использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Теорема доказана.

Приведем без доказательства следующие формулы для дисперсии, асимметрии и эксцесса случайной величины, распределенной по геометрическому закону: ; и .