Проблема континуума у Канта

В философии проблему непрерывности попытался разрешить Кант, столкнувшись с затруднениями, которые эта проблема породила у Лейбница, с одной стороны, и у математиков, с другой. Рождение трансцендентального идеализма в немалой степени было обусловлено необходимостью справиться с парадоксами актуальной бесконечности. В своей первой, еще студенческой работе «Мысли об истинной оценке живых сил» Кант затрагивает самый нерв вопроса, так и не решенного Лейбницем: как связать между собой метафизические неделимые (бытие) и физический мир, располагающийся в пространстве (становление). Мир бытия Лейбниц порой характеризует как “внутреннее”, а чувственный мир — как “внешнее”. Монады, по Лейбницу, “не имеют окон” и, таким образом, не имеют “выхода” друг к другу; их деятельность согласована лишь через божественную монаду — посредством предустановленной гармонии. Не вполне ясно также, как понимать соотнесенность монад с “внешним” по отношению к ним материальным миром; мы уже видели, какими способами пытался Лейбниц разрешить этот вопрос, важнейшим аспектом которого является связь души с телом.

Именно с этого вопроса начинает молодой Кант: “... В метафизике, — пишет он в 1746 г., — трудно представить себе, каким образом материя в состоянии порождать в душе человека представления некоторым воистину действенным образом (т. е. физическим действием)... Подобная же трудность возникает и тогда, когда стоит вопрос о том, в состоянии ли также и душа приводить в движение материю... Вопрос о том, в состоянии ли душа вызывать движения, т. е. обладает ли она движущей силой, приобретает такой вид: может ли присущая ей сила быть предназначена к действию вовне, т. е. способна ли она вовне себя воздействовать на другие существа и вызывать изменения? На этот вопрос можно с полной определенностью ответить тем, что душа должна быть в состоянии действовать вовне на том основании, что сама она находится в определенном месте. Ибо если разберем понятие того, что мы называем местом, то найдем, что оно указывает на взаимные действия субстанций” [67]. Вопрос поставлен точно. В самом деле, коль скоро “метафизическая точка” имеет жесткую связь с определенным местом, то она уже тем самым не абсолютно самозамкнута: в противном случае субстанция-монада существовала бы вне всякой связи с каким-либо телом (а что монады не могут существовать без тела, на этом Лейбниц всегда настаивал) и, стало быть, по словам Канта, “нигде во всем мире не находилась бы” [68]. Протяжение, таким образом, по мысли Канта, есть продукт действия субстанции вовне; так молодой философ интерпретирует Лейбница. “Ибо без этой силы нет никакой связи, без связи — никакого порядка, без порядка нет никакого пространства” [69].

Как видим, в своем рассуждении Кант опирается на Лейбницево определение пространства как порядка сосуществования. Однако, постулируя “воздействие субстанций вовне”. Кант не разъясняет, как следует понимать это воздействие. Судя по всему, этот вопрос не переставал занимать Канта на протяжении целого десятилетия. В 1756 г. он предпринимает еще одну попытку его разрешения в магистерской диссертации «Применение связанной с геометрией метафизики в философии природы». За год до того, в 1755 г. была опубликована работа Канта «Всеобщая естественная история и теория неба», в которой он применил Ньютонову теорию тяготения для объяснения генезиса мироздания. Теперь с помощью ньютоновской динамики философ приступил к разрешению давно мучившей его антиномии неделимого (монады) и непрерывного (протяжения). На сей раз он рассматривает соотношение физики (динамики) и математики, оставляя вне поля зрения метафизическую сущность монад. Задача, которую при этом ставит перед собой Кант, состоит в доказательстве, что “существование физических монад согласно с геометрией” [70]. Альтернатива — метафизика или геометрия — заострена у Канта еще одним дополнительным обстоятельством: он вместе с Ньютоном признает теорию тяготения как действия на расстоянии, а тяготение невозможно объяснить с помощью одной только геометрии. Кант пытается фундировать Ньютонову теорию всемирного тяготения с помощью Лейбницевой метафизики, хотя сам создатель монадологии считал ньютонову идею совершенно неприемлемой [71]. “Метафизика, — пишет Кант, — без которой, по мнению многих, вполне можно обойтись при разрешении физических проблем, одна только и оказывает здесь помощь, возжигая свет познания. В самом деле, тела состоят из частей и... важно выяснить, как именно они составлены из этих частей: наполняют ли они пространство одним лишь сосуществованием этих первичных частей или через взаимное столкновение сил. Но каким образом в этом деле можно связать метафизику с геометрией, когда, по-видимому, легче грифов запрячь вместе с конями, чем трансцендентальную философию [72] сочетать с геометрией? Ибо если первая упорно отрицает, что пространство делимо до бесконечности, то вторая утверждает это с такой же уверенностью, с какой она обычно отстаивает остальные свои положения. Первая настаивает на том, что пустое пространство необходимо для свободных движений; вторая же, напротив, решительно его отвергает. Первая указывает на то, что притяжение, или всеобщее тяготение, едва ли можно объяснить одними лишь механическими причинами, но что оно имеет свое начало во внутренних силах, присущих телам в состоянии покоя и действующих на расстоянии; вторая же относит всякое такое предположение к пустой игре воображения” [73].

Мы привели этот отрывок целиком ввиду его важности для нашей темы: Кант здесь рассматривает проблему континуума, как она ставится в математике, имеющей дело с миром лишь возможного (становление), и в физике, с трудом отделимой от метафизики, которая претендует на то, что именно она раскрывает законы самого бытия. На уровне бытия континуум мыслится как дискретный, на уровне становления — как непрерывный. Однако дело осложняется тем, что определенная школа физики — в частности картезианская — при объяснении природы допускала только принцип непрерывности, не признавая ни атомов, ни пустоты, ни сил тяготения. Что же касается метафизики, то сюда Кант, как видно, относит Ньютона и его последователей, ибо именно они принимают пустое пространство как условие возможности движения атомов, а также тяготение как действие на расстоянии. Хотя Ньютон, как известно, дистанцировался от метафизики (хорошо известен его афоризм “гипотез не изобретаю”), однако Кант характеризует его подход как метафизический, имея в виду то обстоятельство, что Ньютон, как и Лейбниц, вводит в свою динамику понятие силы и не ограничивается лишь установлением механических законов, как это делал Декарт. Но как примирить таким образом понятую метафизику [74] с математикой, атомизм в физике с принципом непрерывности в математике?

Кант согласен с Декартом и большинством математиков в том, что пространство делимо до бесконечности и не состоит из простых частей. Но в то же время он подчеркивает, что “каждый простой элемент тела, или монада, не только существует в пространстве, но и наполняет пространство, сохраняя, однако, свою простоту” [75]. Как видим, в отличие от Декарта, Кант не признает, что пространство есть субстанция. Здесь он остается последователем Лейбница и считает субстанциями неделимые монады. Физические монады, по Канту, заполняют пространство не множеством своих частей (таковых у неделимых начал нет), а сферой своей деятельности, сущность которой — притяжение и отталкивание: притяжение создает единство, связь физических тел, а отталкивание — их разъединенность, обособленность. Таким путем Кант ищет выход из трудности, связанной с проблемой непрерывного и неделимого, т. е. в данном случае математического и физического континуумов.

Вот предложенный им выход: из непрерывности (бесконечной делимости) пространства, занимаемого элементом, не вытекает делимость самого элемента [76]. “Из доказанного выше, — подытоживает Кант, — с полной очевидностью следует, что ни геометр не ошибается, ни то мнение, которого придерживается метафизик, не уклоняется от истины, поэтому неизбежно должен быть ошибочным взгляд, который оспаривает оба эти мнения и согласно которому ни один элемент, поскольку он абсолютно простая субстанция, не может занимать пространства, не теряя своей простоты” [77]. Ошибается, по Канту, тот, кто не может примирить между собой два утверждения — метафизики: “Всякая сложная субстанция состоит из простых частей, и вообще существует только простое и то, что сложено из простого” — и математики: “Ни одна сложная вещь в мире не состоит из простых частей, и вообще в мире нет ничего простого” [78].

Этот ошибающийся — сам Кант 25 лет спустя после написания работы «Применение связанной с геометрией метафизики в философии природы». Ибо именно он и сформулировал в «Критике чистого разума» эти два утверждения как абсолютно непримиримые — как антиномию чистого разума. И вот как он теперь, в 1781 г., оценивает свою прежнюю попытку примирения этих двух утверждений: “Впрочем, монадисты ловко пытаются обойти это затруднение, именно они утверждают, что не пространство составляет условие возможности предметов внешнего наглядного представления (тел), а, наоборот, предметы внешнего наглядного представления и динамическое отношение между субстанциями вообще составляют условие возможности пространства” [79]. В качестве примера Кант мог бы сослаться на свою собственную работу 1756 г., только что рассмотренную нами, ибо там он, рассуждая как монадист, как раз и определял пространство как “явление внешнего отношения субстанций” [80], как “сферу деятельности монады” [81].

Размышления над проблемой континуума, таким образом, сыграли первостепенную роль в пересмотре Кантом принципов рационализма XVII—XVIII вв. и создании системы критической философии, где переосмыслено центральное в метафизике XVII в. понятия субстанции и фундаментом всей системы знания становится не субстанция, а субъект. Переход от субстанции к субъекту совершил уже английский эмпиризм в лице Локка и особенно Юма; но они имели в виду психологического, т. е. эмпирического субъекта в его индивидуальности. Кант ставит в центр своего учения понятие трансцендентального субъекта, освобождаясь тем самым от психологизма в теории познания. В результате эмпирический мир, мир опыта — как внешнего (природа как предмет естествознания), так и внутреннего (душа как предмет эмпирической психологии) существует у Канта лишь в отношении к трансцендентальному субъекту, конструирующему этот мир с помощью априорных форм чувственности (пространства и времени) и априорных форм рассудка (категорий). Определения, приписывавшиеся ранее материальной субстанции — пространственная протяженность, фигура, временная продолжительность, движение — суть, по Канту, продукт деятельности трансцендентального субъекта. В мире природы нет места тому, что существует в себе и через себя, здесь все определяется связью механических причин, т. е. другим и через другое, поскольку и сам этот мир существует лишь через отношение к трансцендентальному Я. Отвергая понятие субстанции применительно также и к индивидуальной душе. Кант рассматривает ее в теоретической философии лишь как явление, конструируемое посредством внутреннего чувства. Однако реликты субстанций как самостоятельных сущих, не зависящих не только от индивидуального, но и от трансцендентального субъекта, сохраняются у Канта в виде непознаваемых вещей в себе, аффицирующих нашу чувственность и таким образом порождающих ощущения. Недоступные теоретическому познанию, вещи в себе принадлежат к сверхчувственному миру — сфере свободы, т. е. разума практического. Человек как существо нравственное несет в себе те черты, которыми традиционно наделялись духовные субстанции — разумные души, хотя онтологический статус разумной души у Канта совсем иной.

Посмотрим теперь, как в этой новой системе решается вопрос о природе континуума, столь волновавший Канта в докритический период. В «Критике чистого разума» этому вопросу уделяется тоже большое внимание, но способ его рассмотрения существенно меняется. Подлинным бытием, как теперь полагает Кант, обладают лишь вещи в себе, которые суть простые, неделимые единства, лишенные протяжения. От Лейбницевых монад эти единства однако отличаются тем, что, во-первых, они непознаваемы, а, во-вторых, из них недопустимо “составлять” материальные тела, т. е. рассматривать сложное как “агрегат” простого. Что же касается мира явлений, протяженного в пространстве и длящегося во времени, то он непрерывен, т. е. бесконечно делим. Именно жесткое различение вещей в себе и явлении является основой кантовского решения проблемы континуума: непрерывность пространственно-временного, природного мира не противоречит “дискретности” мира сверхприродного. В «Метафизических началах естествознания» (1786) Кант пишет: “Сколь далеко... простирается математическая делимость пространства, наполненного той или иной материей, столь же далеко простирается и возможное физическое деление субстанции, его наполняющей. Но математическая делимость бесконечна, следовательно, и физическая, т. е. всякая материя до бесконечности делима, и притом на части, из которых каждая в свою очередь есть материальная субстанция” [82]. Последнее замечание имеет целью подчеркнуть, что в материи нет “последних неделимых” элементов, нет лейбницевых “физических монад”, бесконечное множество которых составляет как бы “бытийный” фундамент непрерывности феноменального мира (назовем его условно “становлением”). По Канту, всякая часть материи, как и пространства, делима до бесконечности. Здесь Кант в понимании континуума возвращается к Аристотелю и следовавшему за ним Декарту, хотя чисто философское обоснование такой трактовки непрерывности у Канта иное, чем у этих его предшественников.

Перед Кантом стояла альтернатива. Если принять материю за субстанцию, и притом не тождественную пространству (с пространством материю отождествлял Декарт), то тезис о бесконечной делимости материи требовал бы допустить, что она состоит из актуально бесконечного множества “последних единиц” — путь, которым пошел Лейбниц, отвергнув физический атомизм во имя принципа бесконечной делимости, но положив в основу природы атомизм метафизический — “монадизм”. Но если считать, как Аристотель, что материя — это лишь возможность, потенциальность, то нет надобности в самой материи искать актуально бесконечного множества далее не делимых “элементов” в качестве условия ее бесконечной делимости. Кант пришел к выводу, что материя есть только явление и благодаря этому возвратился к принципу непрерывности в его аристотелевско-евдоксовом варианте. “О явлениях, деление которых можно продолжить до бесконечности, можно лишь сказать, что частей явления столько, сколько их будет дано нами, пока мы будем в состоянии продолжать деление. Ведь части, как относящиеся к существованию явлений, существуют лишь в мыслях, т. е. в самом делении” [83]. Иначе говоря, если материя не есть вещь в себе, то нет надобности допускать, как это делал Лейбниц, актуальную бесконечность “частей” для обоснования потенциальной бесконечности, т. е. бесконечной делимости пространства, времени и материи. Таким образом, именно феноменалистское истолкование материи позволяет Канту справиться с парадоксами континуума.

Интересно отметить, что возвращение к потенциальной бесконечности при обосновании дифференциального исчисления происходит и в математике второй половины XVIII в., хотя полностью элиминировать понятие актуально бесконечно малого и создать теорию пределов, опирающуюся на методологические принципы метода исчерпывания древних, удалось лишь позднее, усилиями К. Ф. Гаусса, О. Коши и особенно К. Вейерштрасса. Противоречивость понятия бесконечно малого, как мы уже отмечали, была очевидна с самого появления этого понятия; не случайно Ньютон создавал теорию “первых и последних отношений”, стремясь избежать употребления “бесконечно малых”. Это стремление еще более усилилось после критики инфинитезимального исчисления, осуществленной Дж. Беркли. Не удивительно, что Даламбер в своих статьях «Дифференциал» (1754), «Флюксия» (1756), «Бесконечно малое» (1759) и «Предел» (1765), помещенных в знаменитой «Энциклопедии, или Словаре наук, искусств и ремесел», в качестве обоснования анализа предложил теорию пределов. При этом он опирался на Ньютонов принцип “первых и последних отношений”. Дальнейшие шаги в этом направлении предпринял Лагранж. В 1784 г. по инициативе Лагранжа Берлинская Академия наук назначила приз за лучшее решение проблемы бесконечного в математике. Объявление об условиях конкурса гласило:

“Всеобщим уважением и почетным титулом образцовой “точной науки” математика обязана ясности своих принципов, строгости своих доказательств и точности своих теорем. Для обеспечения непрестанного обновления столь ценных преимуществ этой изящной области знания необходима ясная и точная теория того, что называется в математике бесконечностью. Хорошо известно, что современная геометрия (математика) систематически использует бесконечно большие и бесконечно малые величины. Однако геометры античности и даже древние аналитики всячески стремились избегать всего, что приближается к бесконечности, а некоторые знаменитые аналитики современности усматривают противоречивость в самом термине “бесконечная величина”. Учитывая сказанное, Академия желает получить объяснение, каким образом столь многие правильные теоремы были выведены из противоречивого предположения, вместе с формулировкой точного, ясного, истинно математического принципа, который был бы пригоден для замены принципа “бесконечного” и в то же время не делал бы проводимые на его основе исследования чрезмерно сложными или длинными” [84].

Однако, как мы уже говорили, строгое решение поставленной Берлинской Академией задачи было найдено только в XIX в. Решающую роль здесь сыграли работы французского математика О. Коши. Метод, им предложенный, исключает обращение к актуально бесконечному. Вот как определяет Коши вводимое им понятие предела: “Если значения, последовательно приписываемые одной и той же переменной, неограниченно (indefiniment) приближаются к фиксированному значению таким образом, чтобы в конце концов отличаться от него сколь угодно мало, то последнее называют пределом всех остальных” [85]. Бесконечно малая определяется здесь как переменная, последовательные значения которой становятся меньше любого данного положительного числа. Метод Коши оказался по своим теоретическим предпосылкам сходен с античным методом исчерпывания.

Философия Канта, с одной стороны, и созданная в XIX в. теория пределов, с другой, привели к тому, что понятие континуума, близкое к его античной трактовке, т. е. исключающее принцип актуальной бесконечности, на некоторое время получило преобладающее влияние в науке. Однако не все математики и философы были удовлетворены таким решением проблемы. В конце XIX в. вместе с созданием теории множеств Георга Кантора полемика вокруг понятия континуума вспыхнула с новой силой. И сегодня это понятие по-прежнему вызывает споры среди математиков, естествоиспытателей и философов.

[1] Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях // Новые идеи в математике. СПб., 1914. Вып. 6.

[2] Вейль Г. О философии математики. М.-Л., 1934. С. 102.

[3] Уитроу Дж. Естественная философия времени. М., 1964. С. 9.

[4] К сожалению, эта критика не имела той силы, которая могла бы поколебать поставленные элеатами и Платоном вопросы. (Руслан Хазарзар.)

[5] Степин В. С. Теоретическое знание. М.: Наука, 2000. С. 651.

[6] Там же.

[7] “Случайность подталкивает то, что осталось от системы, на новый путь развития, а после выбора пути вновь в силу вступает детерминизм, и так до следующей бифуркации” (Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. М., 1986. С. 28—29).

[8] Классическая физика, правда, в отличие от Архимеда, не исключает время полностью, но делает его обратимым и тем самым несущественным.

[9] Слово разрешение нужно заключить в кавычки, ибо, как вы увидите, Аристотель не только не разрешил апории, но и, похоже, вообще не понял проблемы (или сделал вид, что не понял), поставленной элеатами (Руслан Хазарзар)

[10] Увы, Гайденко не понимает проблематику апорий: логически не противоречиво, что тело может занять актуально бесконечное количество положений за ограниченное время, ибо сам ограниченный интервал времени состоит из актуально бесконечных мгновений, о чем, кстати, в другой форме говорит цитируемый Гайденко Аристотель. Проблема, поставленная элеатами, должным образом воспроизведена Анисовым (см. предыдущую статью). (Руслан Хазарзар.)

[11] Американский философ Чарлз Пирс, убежденный в том, что апория «Стрела» затрагивает очень серьезные вопросы, связанные с природой движения, представил эту апорию в виде силлогизма. Большая посылка его гласит: “Никакое тело, не занимающее места больше, чем оно само, не движется”. Меньшая посылка: “Никакое тело не занимает места больше, чем оно само”. Вывод: “Следовательно, ни одно тело не движется”. По мнению Пирса, ошибка Зенона кроется в меньшей посылке: в кратчайшее время движущееся тело занимает место, которое больше его самого на бесконечно малую величину. Из апории Зенона, как полагал Пирс, можно сделать лишь вывод, что вне времени тело не проходит никакого расстояния (см. Peirce C. S. Collected Papers. Cambridge, Mass., 1934. P. 334).

[12] Интересно отметить, что наш современник Бертран Рассел согласен с древним философом в том, что движение можно составить из суммы неподвижностей. “Вейерштрасс, строго запретив все бесконечно малые, — пишет Рассел, имея в виду предложенную Вейерштрассом арифметизацию дифференциального исчисления, — показал в конечном счете, что мы живем в неизменном мире и что стрела в каждый момент своего полета фактически покоится. Единственным пунктом, в котором Зенон, вероятно, ошибался, был его вывод (если он действительно его сделал) о том, что, поскольку не существует никаких изменений, мир все время должен находиться в одном и том же состоянии как в одно время, так и в другое” (Russell B. The Principles of the Mathematics. London, 1937. P. 347). Рассел как логик, видимо, тяготеет больше к началу бытия, чем становления, поэтому ему созвучны некоторые мотивы элеатов. Однако, не будучи здесь все же столь последовательным, как Зенон, английский философ не может принять позицию, отрицающую всякую реальность становления, а значит, и реальность времени, поскольку время и есть условие возможности становления как такового. А ведь для Зенона признать наличие “одного и другого времени” уже означало бы впустить “бациллу” становления в вечное, неподвижное, неизменное, единое бытие!

[13] И это неверно. Апории Стрела и Стадий действительно рассматривают проблемы, возникающие при дискретности пространства-времени, но эти апории приводят к парадоксу совершенно разными путями. По всей видимости, перед написанием данной статьи Гайденко, увы, не ознакомился в должной степени с темой — а именно с тем, что касается самих апорий. (Руслан Хазарзар.)

[14] Увы, Аристотель меняет тезис. Проблема первых двух апорий заключается в другом, как это показано в предыдущей статье Анисова. А потому “опровержение” Аристотеля не касается самой проблематики, поставленной элеатами. Не исключено, что Аристотель не только неправильно понял апории, но и неправильно их передал (а ведь Аристотелева «Физика» — древнейших источник, по которому мы знаем апории). Иначе чем объяснить, например, столь странную формулировку апории Стадий: “Четвертый [аргумент] — о равных телах, движущихся по стадию в противоположных направлениях мимо [~ параллельно] равных [им тел]; одни [движутся] от конца стадия другие — от середины с равной скоростью, откуда, как он думает, следует, что половина времени равна двойному [= целому]. Паралогизм — в допущении, что как мимо движущегося [тела], так и мимо покоящегося равная [им] величина с равной скоростью движется равное время. Но это ложь. Так, например, пусть АА будут неподвижные тела равного размера, ВВ — тела, начинающие с середины, равные телам АА по числу и величине, а ГГ — тела, [начинающие] с конца, равные телам ВВ по числу и величине и обладающие равной скоростью с телами В. Тогда получается, что, когда [тела ВВ и ГГ] движутся друг мимо друга, первое В накладывается на последнее [Г] одновременно с тем, как первое Г — [на последнее В]. Получается, что Г прошло мимо всех [В], а В — мимо только половины [А], и поэтому затратило только половину [того] времени, [которое затратило Г], так как каждое из двух проходит мимо каждого за равное [время]. Одновременно получается, что первое В прошло мимо всех Г, так как первое Г и первое В одновременно наложатся на противолежащие крайние [А], (ровно за такое же время проходя мимо каждого из тел В, как и мимо каждого из тел А, как он говорит), так как оба они проходят мимо тел А за равное время. Так гласит аргумент, но вывод основан на упомянутом выше ложном допущении” (Физика. Z 9. 239 b 33)?..(Руслан Хазарзар)

[15] Евклид. Начала. Kн. I—VI. С. 142.

[16] Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в древней Греции // Историко-математические исследования. М., 1958. С. 311.

[17] Еще до Кавальери метод исчисления неделимых применил Кеплер в своей «Стереометрии винных бочек». Однако, подобно античным математикам, он рассматривал этот метод лишь как технику вычисления, а не как строго научный, т. е. математический метод.

[18] Галилей Г. Избранные труды. В 2-х т. Т. 2. М., 1964. С. 131.

[19] Там же, с. 131—132.

[20] Там же, с. 132.

[21] С помощью понятия “неделимых” Галилей пытается решить задачу “колеса Аристотеля”: при совместном качении двух концентрических кругов больший проходит то же расстояние, что и меньший. Как это возможно? “Разделяя линию на некоторые конечные и потому поддающиеся счету части, нельзя получить путем соединения этих частей линии, превышающей по длине первоначальную, не вставляя пустых пространств между ее частями; но представляя себе линию, разделенную на неконечные части, т. е. на бесконечно многие ее неделимые, мы можем мыслить ее колоссально растянутой без вставки конечных пустых пространств, а путем вставки бесконечно многих неделимых пустот” (Галилей Г. Избранные труды. В 2-х т. Т. 2. М., 1964. С. 135).

[22] Цит. по: Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984. С. 176.

[23] Цит. по: Lasswitz K. Geschichte der Atomistik, 1890. S. 191.

[24] Кавальери Б. Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного. М.-Л., 1940. С. 277.

[25] Там же, с. 89.

[26] Там же, с. 91.

[27] Вот что говорит об этом сам Кавальери: “От меня не скрыто, что о строении континуума и о бесконечном весьма много спорят философы, выдвигая такие положения, которые находятся в разногласии с немалым числом, моих принципов. Они будут колебаться либо потому, что понятие всех линий или всех плоскостей кажется им непонятным и более темным, чем мрак Киммерийский, либо потому, что мой взгляд склоняется к строению континуума из неделимых, либо, наконец, потому, что я осмелился признать за прочнейшее основание геометрии тот факт, что одно бесконечное может быть больше другого” (цит. по: Зубов В. П. Развитие атомистических представлений до начала XIX века. С. 223).

[28] Cavalerius B. Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota. Bononial, 1635. Lib. VII. P. 2.

[29] Галилей Г. Избранные труды. В 2-х т. Т. 2. М., 1964. С. 154.

[30] Галилей называл их иногда “невеличинами”, пытаясь избежать парадоксов. “Самая возможность продолжать деление на части приводит к необходимости сложения из бесконечного множества невеличин” (Галилей Г. Избранные труды. В 2-х т. Т. 2. М., 1964. С. 142).

[31] Цит. по: Лурье С. Я. Математический эпос Кавальери // Кавальери Б. Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного. М.-Л., 1940. С. 37.

[32] Там же, с. 39.

[33] “Утверждали иногда, — пишет по этому поводу В. П. Зубов, — что Галилей продолжил традицию Демокрита. С гораздо большим основанием можно говорить, однако, о традиции Архимеда. Ведь мы знаем, что, по Демокриту, континуум слагался из элементов того же рода (тела из мельчайших тел и т. д.), тогда как у Архимеда речь шла об элементах n-I порядка” (Зубов В. П. Развитие атомистических представлений до начала XIX века. С. 215—216).

[34] Декарт Р. Избранные произведения. М., 1950. С. 475.

[35] Там же, с. 437—438.

[36] В «Трактате о конических сечениях, изложенных новым методом» (1655) Валлис, ссылаясь на Кавальери, рассматривает площади плоских фигур как составленные из бесконечно многих параллельных линий. При этом, как пишет А. П. Юшкевич, “бесконечно малое количество то отождествляется нулевым, то параллелограммы бесконечно малой высоты объявляются вряд ли чем-либо иным, нежели линия...” (Юшкевич А. П. Развитие понятия предела до К. Вейерштрасса // Историко-математические исследования. Вып. XXX. М., 1986. С. 25). Валлис, таким образом воспроизводит те же принципы, что мы видели у Кавальери, и соответственно те же теоретические затруднения.

[37] Юшкевич А. П. Идеи обоснования математического анализа в XVIII в. // Историко-математические исследования. Вып. XXX. М., 1986. С. 26.

[38] Как полагают некоторые историки, если бы Ньютон углубил дальше свою идею “окончательного отношения” “исчезающих приращений”, он предвосхитил бы строгие методы, разработанные Коши в XIX в. (Boyer C. B. The Concepts of the Calculus. New York, 1949. С. 196).

[39] Мордухай-БолтовскойД. Д. Комментарии к Ньютону // Ньютон И. Математические работы. М.-Л., 1937. С. 289.

[40] Интересно, что известный математик К. Маклоран, пытавшийся защитить ньютоновский метод флюксий от критики Дж. Беркли (в сочинении «Аналист», 1734 г.), в своем «Трактате о флюксиях» сближает метод Ньютона с методом исчерпывания Евклида, и Архимеда. В основе метода исчерпывания лежит сколь угодно точное приближение к искомой величине с помощью сходящихся к ней сверху и снизу последовательностей известных величин. Вот как формулирует сущность метода исчерпывания Маклоран: если две переменные величины AP и AQ, находящиеся друг к другу в неизменном отношении, одновременно приближаются к двум определенным величинам AB и AD так, что разности между ними оказываются меньшими любой заданной величины, то отношение пределов будет тем же, что и отношение переменных величин AP и AQ (Maclaurin C. Treatise of Fluxions in two Books. 1742. T. 1. P. 6).

[41] Лейбниц Г. В. Сочинения. В 4-х т. М., 1984. С. 287.

[42] Там же.

[43] Там же, с. 157.

[44] Там же, с. 158.

[45] “Я признаю, — пишет Лейбниц, — что время, протяженность, движение и непрерывность в том общем смысле, который придается им в математике, суть вещи идеальные, т. е. выражающие возможность совершенно так же, как ее выражают цифры. Гоббс даже пространство определил как phantasma existentis. Но правильнее будет сказать, что протяженность — это порядок возможных сосуществовании, подобно тому как время — порядок возможностей не определенных, но тем не менее взаимозависимых” (Лейбниц Г. В. Сочинения. В 4-х т. М., 1984. С. 341). Определяя непрерывность через понятие возможности, т. е. как потенциально бесконечную, Лейбниц, как и Аристотель, не составляет математический континуум из актуально сущих неделимых. Однако не так обстоит дело в физике и метафизике Лейбница, где не протяжение, а сила есть истинное определение реально сущего, т. е. субстанций. Носители сил — это “формальные атомы”, названные Лейбницем так в отличие от атомов материальных: формальные атомы — монады — являются метафизическими неделимыми. “... Сила есть нечто вполне реальное также и в сотворенных субстанциях; пространство же, время и движение имеют нечто от сущности разума и являются истинными и реальными не сами по себе, а лишь поскольку они причастны к божественным атрибутам — бесконечности, вечности, созиданию или силе творимых субстанций” (Лейбниц Г. В. Сочинения. В 4-х т. М., 1984. С. 262). Те виды континуума, которые перечисляет здесь Лейбниц, он характеризует как имеющие нечто от “сущности разума”, что, собственно, и означает “идеальность”, а не реальность их, ибо разум Лейбниц трактует здесь в духе номинализма. Вот определение различия между идеальным и реальным, данное Лейбницем в письме к Ремону: “В идеальном целое предшествует частям, как арифметическая единица предшествует дробям, на которые она делится и которые можно в ней обозначать произвольно, так как части только потенциальны; но в реальном простое предшествует агрегатам, части — действительны, предшествуют целому” (цит. по: Каринский В. Умозрительное знание в философской системе Лейбница. СПб., 1912. С. 189—190). Таким образом, в математике мы, по Лейбницу, имеем дело с потенциально бесконечным (возможным), иначе говоря, со становлением, а в метафизике — с актуально бесконечным, где целое представляет собой сумму бесконечного числа бытийных единиц — сверхчувственных монад. Трудности, связанные с понятием континуума, вызваны у Лейбница необходимостью согласовать эти две сферы — становление и бытие.

[46] Лейбниц Г. В. Сочинения. В 4-х т. М., 1984. С. 294. Здесь в переводе фраза несколько утяжелена, и мысль Лейбница ясна не сразу. В сущности философ утверждает, что любая часть материи не только делима до бесконечности, но и актуально разделена на бесконечное множество физических точек.

[47] Лейбниц Г. В. Сочинения. В 4-х т. М., 1984. С. 316.

[48] Лейбниц Г. В. Сочинения. В 4-х т. Т. 3. М., 1984. С. 246.

[49] Там же, с. 247.

[50] Там же, с. 250.

[51] Там же, с. 252.

[52] Там же.

[53] Там же, с. 253.

[54] Там же, с. 254.

[55] Там же, с. 255.

[56] Там же, с. 256.

[57] Там же.

[58] Там же, с. 263.

[59] Там же, с. 260.

[60] Юшкевич А. П. Идеи обоснования математического анализа в XVIII в. // Историко-математические исследования. Вып. XXX. М., 1986. С. 14—15.

[61] “Необходимо указать на источник, откуда вытекла эта идея в широкую публику и сделалась столь распространенной. Нет никакого сомнения, что таким первоисточником является открытие анализа бесконечных, и, говоря определеннее, мы можем утверждать, что Лейбниц как математик и философ ввел в общественное сознание идею непрерывности; мы можем даже сказать, что система Лейбница есть почти вся целиком коррелят его работ по анализу, гениальная транспонировка самим изобретателем математических данных на философский язык” (Флоренский П. А. Введение к диссертации «Идея прерывности как элемент миросозерцания» // Историко-математические исследования. Вып. XXX. М., 1986. С. 160).

[62] Лейбниц Г. В. Сочинения. В 4-х т. Т. 2. М., 1984. С. 56.

[63] Лейбниц Г. В. Сочинения. В 4-х т. Т. 1. М., 1984. С. 143.

[64] Там же.

[65] “... Не существует части вещества, в которой бы не было бесконечного множества органических и живых тел... Однако отсюда еще не следует, что всякая часть вещества одушевлена, точно так же как мы не говорим, что пруд, полный рыбы, одушевлен, хотя рыбы — одушевленные существа” (Лейбниц Г. Избранные философские сочинения. М., 1890. С. 240).

[66] Leibniz G. W. Die philosophische Schriften. S. 624.

[67] Кант И. Сочинения. В 6-ти т. Т. 1. М., 1963. С. 66—67.

[68] Там же, с. 68.

[69] Там же, с. 69.

[70] Там же, с. 319.

[71] Вот что писал Лейбниц по поводу теории всемирного тяготения Ньютона: “... Я не желал бы, чтобы в естественном ходе природы прибегали к чудесам и допускали абсолютно необъяснимые силы и действия. В противном случае мы дадим во имя всемогущества Божия слишком много воли плохим философам, и раз мы допустим эти центростремительные силы или эти действующие издалека непосредственные притяжения, не будучи однако в состоянии сделать их понятными, то я уже не вижу, что помешает нашим школьным философам утверждать, что все совершается просто в силу способностей и поддерживать свои образы сущностей (species intentionales), которые будто бы исходят от предметов к нам и находят средство проникать до самой нашей души” (Лейбниц Г. Избранные философские сочинения. М., 1890. С. 208).

[72] Как видим, Кант именует трансцендентальной не только созданную им впоследствии критическую философию.

[73] Кант И. Сочинения. В 6-ти т. Т. 1. М., 1963. С. 318.

[74] Кант с самого начала оговаривает, что под метафизикой он здесь подразумевает учение о физических монадах, но не о монадах метафизических, которые составляют, согласно Лейбницу, последний фундамент бытия и должны объяснять природу также и физических монад. “Так как я намерен здесь рассуждать только о том классе простых субстанций, которые суть первичные части тел, то заранее заявляю, что в последующем изложении я буду пользоваться терминами простые субстанции, монады, элементы материи, первичные части тела как синонимами” (Кант И. Сочинения. В 6-ти т. Т. 1. М., 1963. С. 319).

[75] Кант И. Сочинения. В 6-ти т. Т. 1. М., 1963. С. 323.

[76] Увы, и такое положение связано с неразрешимыми трудностями, указанными мною в сноске к апории Стрела в предыдущей статье Анисова. Не случайно Кант впоследствии отказался от этой точки зрения. (Руслан Хазарзар.)

[77] Кант И. Сочинения. В 6-ти т. Т. 1. М., 1963. С. 324.

[78] Кант И. Сочинения. В 6-ти т. Т. 1. М., 1963. С. 270—271.

[79] Там же, с. 275.

[80] Там же, с. 324.

[81] Там же, с. 325.

[82] Кант И. Сочинения. В 6-ти т. Т. 6. М., 1963. С. 103.

[83] Там же.

[84] Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984. С. 175. Характерно, что победитель конкурса, швейцарский математик С. Люилье представил работу под девизом: “Бесконечность — пучина, в которой тонут наши мысли” (там же).

[85] Коши О. Л. Алгебраический анализ. СПб., 1864. С. 19.