Возникает вопрос: Всегда ли существует функциональная зависимость между экспериментальными данными, заданными таблицей 1, и каков вид этой зависимости.

Тема. Аппроксимация. Среднеквадратичное приближение функций

Задание 3. Оценить функциональную близость (в линейном смысле) значений результатов эксперимента x, y с помощью коэффициента корреляции R.

Построить аппроксимирующие функции, описывающие заданную зависимость, используя метод наименьших квадратов (МНК).

Порядок выполнения работы

В процессе эксперимента были получены результаты некоторой зависимости величины y от x (приложение 3, в соответствии с вариантом).

1. Вычислите коэффициент корреляции R (3.5). Оцените функциональную близость (в линейном смысле) значений результатов эксперимента x, y с помощью коэффициента корреляции R

2. В качестве аппроксимирующих функций возьмите уравнения регрессии (УР) (полиномы 1-й, 2-й и 3-й степени):

3. Вычислите параметры уравнений регрессий: a, b, c, d спомощью МНК.

4. Вычислите средние квадратичные отклонения для каждого УР. Сделайте обоснованный вывод о «наилучшем приближении».

5. Постройте графики всех аппроксимирующих функций и множество экспериментальных точек.

6. Проиллюстрируйте геометрический смысл точности аппроксимации соответствующим рисунком 3.6, выбрав в качестве аппроксимирующей функции «наилучшее» приближение

 

Теоретические сведения

«Аппроксимация (от лат. Approximo – приближаюсь) – это замена одних математических объектов другими, близкими к исходным »

Предположим, что при обработке результатов проведенного эксперимента обнаружена некая функциональная зависимость у=f(x) между независимой переменной х и зависимой переменной у. Эта зависимость представлена в виде табл. 3.1 значений x_i, y_i (i =1,2 ,…,n), полученных в ходе эксперимента.

Таблица 3.1

у=f(x)	xi	x 1	x 2	…	xn
yi	y 1	y 2	…	yn

Возникает вопрос: Всегда ли существует функциональная зависимость между экспериментальными данными, заданными таблицей 1, и каков вид этой зависимости.

Оценить функциональную близость (в линейном смысле) значений Х, У можно с помощью коэффициента корреляции R:

(3.5)

Если зависимость между х, у линейная (y=ax+b), то для

а>0 -.

а<0 -

При связь отсутствует

Принято считать:

R£0.3 – наблюдается слабая линейная связь,

R=0.3 – 0.7 – средняя,

R³0.7 –сильная,

R=1 – линейная зависимость, все точки лежат на одной прямой.

Таким образом, функция у=f(x) задана таблично (или графически), что создает определенные трудности при ее исследовании.

Возникает задача аппроксимации (замены) исследуемой зависимости у=f(x) аналитической функцией y= j (х) на отрезке [ x ₁ ,x_n ], т.е.

f(x)@ j (х). (3.1)

Аппроксимирующая функция y= j (х) называется уравнением регрессии (УР).

Геометрически задачапостроения уравнения регрессии состоит в проведении кривой L: y= j (х) «возможно ближе» примыкающей к системе экспериментальных точек M_i (x_i, y_i), i= 1,2 ,..,n, заданной табл. 3.1.

Уравнение регрессии записывается в виде многочлена (3.2), т.е. зависит от (m +1) параметра

Параметры определяют расположение графика УР относительно экспериментальных точек M_i (x_i, y_i), i= 1,2 ,..,n (рис.3.1).

 

Рис. 3.1. Геометрический смысл задачи аппроксимации

 

Требуется подобрать параметры так, чтобы график уравнения регрессии был расположен «как можно ближе» к системе экспериментальных точек.

Для нахождения параметров используется метод наименьших квадратов.

Согласно методу наименьших квадратов (МНК) наилучшими параметрами (i=0, 1,..., m) являются те, которые минимизирует сумму квадратов отклонений σi, т.е. функцию : где

Степень точности аппроксимации исследуемого процесса с помощью полученного УР может быть оценена величиной среднего квадратичного отклонения.