Уточнение корней методом простых итераций

1) Исходное уравнение преобразуем к виду x = φ(х):

т.е. φ(х) = C(lnx-2+x)+x;

2) Определим значение С, обеспечивающее сходимость вычислительного процесса метода простых итераций. Как видно из графика, полученного на этапе отделения корней, функция F(x) в точке пересечения с осью ОХ, т.е. в окрестности искомого корня уравнения, имеет нарастающий характер. Следовательно, параметр С должен находиться внутри промежутка .

Так как , то . Вычислим эту величину для двух разных значений х=1,55 и х=1,90, полученных на этапе отделения корней, и обозначим полученные значения С1 и С2:

D15 Вычисление константы С

D16 C1= E16 =-2*A9/(1+A9) D17 C2 E17 =-2*A10/(1+A10)

Окончательное значение С определим как середину меньшего по длине интервала (С1, 0) или (С2, 0). В нашем случае это будет интервал (С1, 0): D18 C= E18 = E16/2.

3) Вносим заголовок таблицы метода простых итераций: D20 X D21 j(x) D22 R D23 N. Символ j можно получить по цепочке «Вставка→Символ».

4) Сформируем таблицу, реализующую вычислительный процесс метода простых итераций.

В качестве начального приближения возьмем одну из границ промежутка, найденного на этапе отделения корней, например, x₀=1,90. В первую строку таблицы внесем:

D21 =A10 E21 =$E$18*(LN(D21)-2+D21)+D21 F21 =ABS(D21-E21) G21 0

В клетке D22 реализуем вычислительную формулу метода простых итераций x _k=φ(x _k-1): D22 =E21. Скопируем клетку E21 в E22.

Выполним вычисление ½x_k - x_k-1½: F22 =ABS(D22-D21).

Скопируем диапазон клеток D22: G22 на три-четыре или более строк ниже, пока в столбце F (R - ошибка, погрешность) не появится число, меньшее 0,0001. Соответствующее ему значение х (в нашем примере значение клетки D24) и будет решением задачи.

Окончательный вид EXCEL-таблицы приведен ниже:

Результат решения:

- исходное уравнение lnx–2+x=0 преобразовано к виду x = С(lnx–2+x) + x, где С=-0,607843 обеспечивает сходимость вычислительного процесса;

- Fпри заданной точности ε=0,0001 определен корень исходного уравнения х=1,557146;

- это значение достигнуто на 3-й итерации.