Краткие теоретические сведения. ТЕМА: Решение трансцендентных уравнений

ТЕМА: Решение трансцендентных уравнений

Содержание документа:

3.1	Задание	1
3.2	Краткие теоретические сведения	2
3.3	Пример выполнения задания в среде Excel	4
3.4	Пример выполнения задания в среде Mathcad	9
3.5	Контрольные вопросы	10
3.6	Таблица индивидуальных вариантов	11

Задание.

Изучить теоретический и вспомогательный материал, изложенный в лекции «Решение трансцендентных уравнений» и в данных методических указаниях.

Задача 1. Средствами Excel выполнить отделение корней трансцендентного уравнения F (x)=0 на промежутке [ х _н, х _к]. Построить график функции F (x) на промежутке [ х _н, х _к].

Задача 2. Средствами Excel по результатам выполнения задачи 1 найти корни уравнения методом дихотомий или методом хорд и методом простых итераций.

ВНИМАНИЕ. Студенты подгрупп СВ-111 и СВ-121 выполняют решение задачи методом дихотомий, а студенты подгрупп СВ-112 и СВ-122– методом хорд. Кроме этого все студенты выполняют решение задачи методом простых итераций.

Задача 3. Используя результаты отделения корней решить заданное уравнение средствами Mathcad. Построить график функции F (x).

Для защиты задания представить на компьютере Excel- и Mathcad-файлы решения задачи и рукописный отчет. В отчете представить:

1) запись исходного уравнения F (x)=0и промежутка [ х_н, х_к ] поиска корня в соответствии с вариантом;

2) результат отделения корней;

3) значение корня уравнения и количество итераций для его достижения для значений точности =0.0001, полученные в среде Excel методом дихотомий или методом хорд;

4) преобразование исходного уравнения к виду, необходимому для использования метода простых итераций и выполнения условия сходимости метода;

5) значение корня уравнения и количество итераций для его достижения для значений точности =0.0001, полученные в среде Excel методом простых итераций;

6) значение корня уравнения с точностью до 5 дробных разрядов, полученное в среде Matcad;

7) ответы на контрольные вопросы.

Краткие теоретические сведения

Существует несколько различных методов численного решения трансцендентных уравнений, но все они предполагают выполнение двух этапов: первый из них называется " отделение корней ", второй - " уточнение корней ".

На этапе отделения корней определяются те интервалы заданного промежутка [ х _нач, х _кон], в каждом из которых расположен один и только один корень уравнения F (x)=0. Отделение корней можно выполнить с помощью следующих трех действий:

1) разбиение промежутка [ х _нач, х _кон] на некоторое количество частей с шагом h,

2) вычисление функции F (x) в точках разбиения,

3) выбор таких промежутков разбиения, на концах которых функция F (x) принимает значения разных знаков.

На этапе уточнения корней постановка задачи выглядит так: найти корень уравнения F (x)=0, содержащийся внутри интервала (А,В) с заданной точностью ε. Предполагается, что границы интервала (А,В) найдены на этапе отделения корней.

При уточнении корней методом дихотомий каждое новое приближение Р определяется как середина интервала (А, В), т.е.

.

Для дальнейшего приближения выбирается та половина (А, В), на концах которой F (x) имеет разные знаки. Алгоритм выбора нужной половинки (А, Р) или (Р, В) изображен на блок-схеме:

Если произведение значений F (А) и F (Р) отрицательное, то значит они имеют разные знаки, т.е. корень уравнения находится в половинке (А, Р) и, следовательно, точка B переносится в точку Р, в противном случае – в половинке (Р, В) и тогда точка А переносится в точку Р.

Критерием окончания итерационного процесса является выполнение неравенства

| В-А | < ε.

При уточнении корней методом хорд каждое новое приближение Р определяется как точка пересечения с осью ОХ прямой линии, соединяющей точки (А, F (A))и(B, F (В)), т.е.

.

Как и в методе дихотомий, для дальнейшего приближения выбирается тот отрезок (А, Р), или (Р, В), на концах которого F(x) имеет разные знаки. В зависимости от этого точка А или точка В переносится в точку Р. Критерием окончания итерационного процесса является выполнение неравенства

| P_k - P_k-1 | <ε,

где P_k-1, P_k -– два последовательных приближения к корню.

Для уточнения корней методом простых итерации необходимо исходное уравнение F (x)=0 преобразовать к эквивалентному уравнению x = φ (х). Тогда вычислительный процесс метода простых итераций выглядит так:

- выбираем начальное приближение x ₀ как любую точку интервала (А, В);

- вычисляем значение φ (х ₀) и называем его x ₁, т.е. x ₁ = φ (х ₀);

- вычисляем значение φ (х ₁) и называем его x ₂, т.е. x ₂ = φ (х ₁);

Повторяя эту процедуру, будем иметь в общем виде на некотором k -м шаге:

x _k = φ (x _k-1).

При выполнении условия сходимости <1 последовательность х ₀, x ₁, x ₂,… x _k, приближается к искомому корню.

Критерием окончания вычислительного процесса является выполнение неравенства ½ x _k - x _k-1½ < ε.

Сходимость метода простых итераций обеспечивается должным выбором преобразования уравнения F (x)=0 к виду x = φ (х). Существует более или менее универсальный способ преобразования:

F (x) = 0

Þ

C . F (x) = 0

Þ

C . F (x) + x = x

,

т.е. φ (х) выбирается в виде φ (х) = C ^. F (x) + x, а константа С определяется из условия сходимости метода.

Рассмотрим в общем виде процесс определения константы С. Если функция φ (х)= C ^. F (x)+ x, то условие сходимости метода простых итераций выглядит так: . Так как это неравенство содержит знак модуля, то оно распадается на два неравенства:

и

или

и

При получаем .

При получаем .

Окончательное значение С выбирается как середина найденного интервала или .

Более подробную информацию о методе простых итераций и вопросах его сходимости, а также о других методах численного решения трансцендентных уравнений можно найти в лекции «Решение трансцендентных уравнений».