Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при.

РЯДЫ

Основные понятия

 

Пусть ‑ последовательность действительных чисел. Рассмотрим последовательность , построенную следующим образом:

 

;

;

;

;

 

Последовательность удобно записывать в виде . Такую последовательность называют числовым рядом. Числа называют членами или элементами ряда. Числовой ряд задают обычно перечислением его элементов или указанием формулы, с помощью которой для заданного можно вычислить -й член ряда.

Пример. Ряд имеет -й член .

Поэтому

т.е. .

Рассмотрим ряд:

 

(1)

Сумму называют -й частной суммой ряда (1). Если последовательность частных сумм ряда (1) сходится, то ряд (1) называют сходящимся, а число называют суммой ряда. Если же последовательность не имеет конечного предела, то ряд (1) называют расходящимся.

Пример. Рассмотрим ряд . Для него , что представляет собой сумму первых членов геометрической прогрессии.

· Если , то и .

· Если , то и .

· Если , то и .

· Если ,

то

и не существует.

Таким образом, ряд при сходится и расходится при . Этот ряд называется геометрическим.

Пусть ряд (1) сходится и ‑ его сумма. Поскольку,

 

, (2)

 

то при получаем .

Откуда следует необходимое условие сходимости ряда: если ряд сходится, то:

 

. (3)

 

Если условие (3) не выполнено, то ряд расходится.

Пример. Ряд расходится, т.к. и .

Условие (3) не является достаточным для сходимости рядя. Даже если оно выполнено, ряд может расходиться. Покажем это на примере гармонического ряда . Для этого ряда при , т.е. условие (3) выполнено. В то же время:

 

,

.

Поэтому .

 

Предположим, что гармонический ряд сходится и ‑ его сумма, т.е. при . Поскольку , то при получаем ‑ противоречие. Значит, предположение о сходимости гармонического ряда было неверным.

Несколько первых членов ряда не влияют на его сходимость. Если у ряда (1) удалить несколько первых членов, то получим ряд , называемый остатком ряда (1). Сходимость ряда равносильна сходимости его любого остатка.

Положительные ряды

 

Среди числовых рядов выделяются ряды, все члены которых неотрицательны. Такие ряды называют положительными. У такого ряда последовательность его частных сумм является возрастающей и, поэтому для его сходимости достаточно, чтобы последовательность была ограниченной. Вывод о сходимости или расходимости положительного ряда может быть сделан на основании сравнения членов этого ряда с членами некоторого эталонного ряда, поведение которого (сходимость или расходимость) известно. Соответствующие теоремы называют признаками сравнения. Приведем некоторые из них.

Будем рассматривать два положительных ряда:

 

(4)

(5)

 

1. Пусть существует номер такой, что .

Если ряд (5) сходится, то сходится и ряд (4). Если ряд (4) расходится, то расходится и ряд (5).

Пример. Рассмотрим ряд . Сравним этот ряд с гармоническим рядом . Так как , то ряд расходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом . Поскольку , то ряд сходится.

2. Пусть существует конечный или бесконечный предел .

· Если , то из сходимости ряда (5) следует сходимость ряда (4).

· Если , то из расходимости ряда (5) следует расходимость ряда (4).

Пример. Рассмотрим ряд . Сравним его с гармоническим рядом. Поскольку при , то ряд расходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом . Так как при , то ряд сходится.

Для положительных рядов доказаны признаки, позволяющие сделать вывод о сходимости или расходимости ряда, изучая поведение при его -го члена.

v Признак Даламбера. Пусть существует предел .

· Если , то ряд сходится;

· Если , то ряд расходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Для этого ряда при . По признаку Даламбера ряд сходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Для этого ряда при . По признаку Даламбера ряд расходится.

v Признак Коши. Пусть существует предел .

· Если , то ряд сходится;

· Если , то ряд расходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Для этого ряда: . По признаку Коши ряд сходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Для этого ряда: . Значит, ряд расходится.

Заметим, то признаки Даламбера и Коши не дают ответа, когда или . В этом случае можно исследовать ряд с помощью других признаков.

v Интегральный признак. Пусть ‑ положительная неубывающая функция, такая что . Если последовательность , сходится, то сходится и ряд . Если последовательность расходится, то расходится и исходный ряд.

Пример. Рассмотрим ряд (этот ряд называют обобщенным гармоническим рядом).

Функция убывающая, положительная и , , .

Если , то . Так как при , то последовательность расходится, значит, расходится и ряд. Впрочем, при исследуемый ряд – гармонический, и его расходимость была доказана ранее.

Если , то .

При , ; при . Таким образом, последовательность сходится при и расходится при .

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при.

Пример. Рассмотрим ряд .

Функция

 

;

при .

 

Значит, ряд расходится.

Если в признаке сравнения 2 в качестве эталонного использовать обобщенный гармонический ряд, то можно получить так называемый степенной признак сходимости положительных рядов. Этот признак дает ответ на вопрос о сходимости ряда в некоторых случаях, когда признаки Коши и Даламбера ответа не дают.

v Степенной признак. Пусть при , где . Тогда при ряд расходится. При ряд сходится (условие равносильно тому, что при . Говорят, что эквивалентен при ).

Пример. Рассмотрим ряд . Для этого ряда

 

,

 

значит, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Можно убедиться, что и признак Коши не приведет к желаемому результату.

В то же время, эквивалентен , так как при . Значит, в этом случае и, следовательно, ряд сходится по степенному признаку.

Пример. Ряд имеет -й член , который эквивалентен . Значит, ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды

 

Ряд вида:

 

(6)

 

называют знакочередующимся.

v Признак Лейбница. Если последовательность стремится к нулю монотонно, то ряд (6) сходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Для него , причем, , т.е. последовательность монотонно убывает и . Поэтому ряд сходится.

Для исследования монотонности последовательности удобно ввести некоторую вспомогательную (дифференцируемую) функцию такую, что , и исследовать функцию на монотонность, воспользовавшись критерием монотонности дифференцируемой функции.

Пример. Для ряда последовательность при . Для исследования монотонности последовательности рассмотрим вспомогательную функцию . Заметим, что . Поскольку . Для функция убывает. Значит, , т.е. . Следовательно, последовательность убывает и . По признаку Лейбница ряд сходится.

Абсолютная сходимость

 

Рассмотрим произвольный числовой ряд:

 

(7)

 

(никаких предположений о знаках членов не делаем). Ряд (7) называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд

 

. (8)

Пример. Ряд не является абсолютно сходящимся (хотя и сходится), так как ряд расходится.

Пример. Ряд сходится абсолютно, т.к. ряд сходится.

Теорема. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится (в обычном смысле).

Это означает, что если сходится ряд (8), то сходится и ряд (7). Поскольку ряд ‑ положительный, то для его исследования можно использовать любой признак сходимости положительных рядов.

Функциональные ряды

 

В каждой точке определения функций если принять , то функциональный ряд:

 

 

преобразуется в числовой ряд:

 

,

 

который может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

Совокупность значений при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Суммой ряда называется функция , определенная в каждой точке области сходимости ряда.

По определению предела означает, что

 

.

 

В общем случае зависит как от , так и от . Интерес представляют ряды, для которых зависит только от .

Последовательность функций сходится равномерно к на множестве , если .

Ряд сходится равномерно на множестве X к сумме , если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на множестве к функции .