Дифференциальное исчисление. Пределы, производные и приложения производной функций.

Пределы, производные и приложения производной функций.

А = 0, В = 1, из таблиц находим, что т =1, п =5.

2.1.1 Найти пределы функций:

а) ;

б) ;

в) ;

 

Производные функций.

2.1.2 Найти производные функций:

а) ;

б) ;

в) ;

д)

 

Приложения производной.

m=1 n=5

С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции:

Функция определена на

Не периодична. Не является ни четной, ни нечетной.

Пересекается с осью х в одной точке х=1/5, с осью y в точке y=1/25.

Исследуем на непрерывность:

Функция имеет две вертикальные асимптоты x=-5 и x=5.

и

Функция имеет общую горизонтальную асимптоту y=0.

Возьмем производные:

Очевидно, что первая производная отрицательная на всем множестве существования функции. Функция убывает везде, где существует.

. У второй производной есть только один действительный корень, равный .

Для построения графика знаки производных в характерных точках и промежутках сведем в таблицу:

x	(-∞;-5)	-5	(-5;x3)	x3	(x3;5)		(5;+ ∞)
y		нет				нет
	-	нет	-	-	-	нет	-
	-	нет	+		-	нет	+
	Убывает. выпукла вверх	Верт. ассимпт.	Убывает. выпукла вниз	перегиб	Убывает. выпукла вверх	Верт. ассимпт.	Убывает. выпукла вниз

 

Построим график функции:

 

 

Функции нескольких переменных

 

Частные производные и дифференциал функции.

3.1.1 Найти частные производные , и функций:

m=1 n=5
а) ;

б)

3.1.2 Найти полный дифференциал функции .

Приложения частных производных.

3.2.1 Для функции в точке найти градиент и построить вектор градиента. A(-5;1)

 

 

Числовые данные параметров т и п в контрольной работе №1 определяются по двум последним цифрам своей зачетки (А — предпоследняя цифра, В — последняя цифра). Значение параметра т выбирается из таблицы 1, а значение параметра п - из таблицы 2. Эти два числа т и п и нужно подставить в условия задач контрольной работы.

 

Таблица 1 (выбор параметра т)

А
т

 

Таблица 2 (выбор параметра п)

В
п

A=0 b=1 -à m=1 n=5

Неопределенный интеграл.

Найти интегралы:

а) б)
в) г) ;

 

Этот пример лучше решить предварительно решив задачу о нахождении интеграла по частям два раза:

 

Сначала найдем интеграл:

Теперь найдем второй интеграл:

Теперь найдем наш интеграл (просто подставим a=1 b=1 alpha=5):

 

Определенный интеграл

 

Вычислить определенный интеграл

 

 

а) ; б) ;

в) ; г)

m=1 n=5

Второе слагаемое равно нулю, так как синус интегрируется на длине периода. Следовательно:

Сначала найдем интеграл:

Теперь найдем наш интеграл:

 

Несобственные интегралы.

Вычислить интеграл или установить его расходимость:

а) б)

m=1 n=5

 

сходится.

 

0 преподаватель должен более внимательно составлять задание!