Обзор результатов о сходимости ряда Фурье

Обозначим через частичные суммы ряда Фурье функции :

.

Далее обсуждается сходимость последовательности функций к функции в различных смыслах. Функция предполагается -периодической (если она задана только на промежутке , её можно периодически продолжить).

• Если , то последовательность сходится к функции в смысле . Кроме того, являются наилучшим (в смысле расстояния в ) приближением функции тригонометрическим многочленом степени не выше .
• Сходимость ряда Фурье в заданной точке — локальное свойство, то есть, если функции и совпадают в некоторой окрестности , то последовательности и либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. (Принцип локализации)
• Если функция дифференцируема в точке , то её ряд Фурье в этой точке сходится к . Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции задаются признаком Дини.
• Функция, непрерывная в точке , может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к . Это следует из того, что для непрерывной в функции последовательность сходится по Чезаро к .
• Если функция разрывна в точке , но имеет пределы в этой точке справа и слева , то при некоторых дополнительных условиях сходятся к . Подробнее см. модифицированный признак Дини.
• Теорема Карлесона: если , то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если . Однако, существуют функции из , ряд Фурье которых расходится во всех точках (теорема Колмогорова).
• Зафиксируем точку . Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве . В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

 

6.Гельдера условие.

 

 

Пространство Лебега.

 

Неравенства Гельдера.

Определение 1. Класс функций, интегрируемых по Лебегу со степенью , обозначается () включает в себя функции такие, что . Если , то обозначают . Поэтому полагают .

Замечание 1. Покажем, что если и , то . Для этого докажем . Полагая т для определенности, имеем , откуда . Тогда можно получить аналогичное неравенство и для значений функций: . Рассматривая интегралы левой и правой частей неравенства, получим сходимость интеграла левой части, что доказывает требуемое.

Лемма 1. Для любых выполнено

Доказательство. Положим . Рассмотрим график функции , отметим на оси точку , а на оси точку . Рассматривая соотношение площадей, можем заключить . Эти же площади легко вычислить как площади под графиком функции, т.е. с помощью интегралов. Соответствующие выражения:

Обозначая , получим требуемое.

Определение 2. Числа большие такие, что будем называть сопряженными показателями.

Предложение 1. (Неравенство Гельдера) Пусть , где -- сопряженные показатели. Тогда

Доказательство. Положим . По лемме получим:

Интегрируя полученное неравенство и вспоминая соотношение для сопряженных показателей, получим требуемое неравенство.

Замечание 2. При получается неравенство Буняковского.

Лемма 2. Пусть . Тогда .

Доказательство. Рассмотрим . Учитывая, что , получим, что интеграл равен , тогда по определению .

Гильбертово пространство

Гильбертово пространство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность. Названо в честь Давида Гильберта.

Гильбертово пространство — линейное (векторное) пространство (над полем вещественных или комплексных чисел), в котором для любых двух элементов пространства и определено скалярное произведение , и которое является полным относительно порождённой этим скалярным произведением метрики . Если условие полноты пространства не выполнено, то говорят о предгильбертовом пространстве. Однако, большинство из известных (используемых) пространств либо являются полными, либо могут быть пополнены.

Таким образом, гильбертово пространство есть банахово пространство (полное нормированное пространство), норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением и определяется как

Норма в произвольном нормированном пространстве может порождаться некоторым скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено следующее равенство (тождество) параллелограмма:

Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством

Если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством

(поляризационное тождество).

ПРИМЕР.

• Евклидово пространство.
• Пространство . Его точки суть бесконечные последовательности вещественных чисел , для которых сходится ряд . Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

.

• Пространство измеримых функций с вещественными значениями на отрезке с интегрируемыми по Лебегу квадратами — то есть таких, что интеграл

определён и конечен, притом функции, отличающиеся между собой на множестве мере нуль — отождествляются между собой (то есть, формально, есть соответствующее множество классов эквивалентностей). Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

.

Для пространств и над полем комплексных чисел, последовательностей комплексных чисел и комплекснозначных функций, определение скалярного произведения отличается лишь комплексной сопряжённостью второго сомножителя:

;

.

Банахово пространство.

Банахово пространство — нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Основной объект изучения функционального анализа. Названо по имени польского математика Стефана Банаха (1892—1945), который с 1922 года систематически изучал эти пространства, используя введённую им аксиоматику.

Пример.

Некоторые примеры банаховых пространств (далее через обозначено одно из полей или ):

• Евклидовы пространства с евклидовой нормой, определяемой для как , являются банаховыми пространствами.
• Пространство всех непрерывных функций , определённых на закрытом интервале будет банаховым пространством, если мы определим его норму как . Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как . Этот пример можно обобщить к пространству всех непрерывных функций , где — компактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций , где — любое топологическое пространство, или даже к пространству всех ограниченных функций , где — любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются банаховыми алгебрами.
• Если — вещественное число, то пространство всех бесконечных последовательностей элементов из , таких что ряд сходится, является банаховым относительно нормы, равной корню степени из суммы этого ряда, и обозначается .
• Банахово пространство состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из ; норма такой последовательности определяется как точная верхняя грань абсолютных величин (модулей) элементов последовательности.
• Снова, если — вещественное число, можно рассматривать все функции интегрируемыми по Лебегу. Корень степени этого интеграла определим как норму . Само собой, это пространство не будет банаховым, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом: и эквивалентны тогда и только тогда, когда норма равна нулю. Множество классов эквивалентности тогда является банаховым пространством; оно обозначается как . Важно использовать именно интеграл Лебега, а не интеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, L^p-пространства.
• Если и — банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму , которая опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
• Если — замкнутое подпространство банахова пространства , то факторпространство снова является банаховым.
• Любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.
• Если и — банаховы пространства над одним полем , тогда множество непрерывных -линейных отображений обозначается . Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными. — векторное пространство, и, если норма задана как , является также и банаховым.
• Пространство представляет собой унитарную банахову алгебру; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений

11.Базис,ортогональный базис.

12.Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Интеграл Лебега

Сверху интегрирование по Риману, снизу по Лебегу

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману.

Определение

Интеграл Лебега определяют пошагово, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой , и на нем определена борелевская функция .

Определение 1. Пусть — индикатор некоторого измеримого множества, то есть , где . Тогда интеграл Лебега функции по определению:

Определение 2. Пусть — простая функция, то есть , где , а — конечное разбиение на измеримые множества. Тогда

.

Определение 3. Пусть теперь — неотрицательная функция, то есть . Рассмотрим все простые функции , такие что . Обозначим это семейство . Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от задаётся формулой:

Наконец, если функция произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

где

.

Определение 4. Пусть — произвольная измеримая функция. Тогда ее интеграл задаётся формулой:

.

Определение 5. Пусть наконец произвольное измеримое множество. Тогда по определению

,

где — индикатор-функция множества .

Пример

Рассмотрим функцию Дирихле , заданную на , где — борелевская σ-алгебра на , а — мера Лебега. Эта функция принимает значение в рациональных точках и в иррациональных. Легко увидеть, что не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

Действительно, мера отрезка равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна .