(§5,п.25)
Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. Для случая, когда функция 
не только непрерывна на отрезке 
, но имеет на этом отрезке лишь конечное число критических точек, существует правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции f:
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке 
.
Решение:
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, согласно правилу, необходимо найти критические точки заданной функции и выделить из них те, которые принадлежат отрезку .
Найдем критические точки, то есть точки, в которых производная не существует или равна нулю.
Так как производная
определена для любого х, то остается решить уравнение 
:
или 
,
решая полученное квадратное уравнение, получим критические точки:
Так как критическая точка 
не принадлежит заданному отрезку , то для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции нужно найти значения функции на концах отрезка, то есть в точках 
и 
и в критической точке 
.
Найдем эти значения:
.
Из полученных значений выберем набольшее и наименьшее. Таким образом, наибольшее значение для заданной функции достигается в точке и равно 4,5, а наименьшее – в точке и равно –1.
Ответ: 
; 
Пример 2 Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их четвертых степеней была наименьшей.
Решение:
Обозначим искомые слагаемые через х и у, тогда число 3 можно представить в виде:
, (*)
причем 
, 
.
По условию задачи сумма 
должна быть наименьшей. Представим эту сумму в виде функции:
(**)
Выразив переменную у через х из уравнения (*) и подставив ее значение в выражение (**), получим функцию, зависящую от переменной х:
. (***)
Исследуем данную функцию на экстремумы. Для этого определим производную:
.
Найдем критические точки функции, для чего решим уравнение:
,
учитывая значение производной, получим:
.
Сократив все уравнение на 4 и используя формулу разности кубов 
,получим:
или 
.
Выполняя действия внутри скобок, применяя формулу 
, имеем:
или 
.
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
.
Второе из данных уравнений не имеет решений, так как его дискриминант меньше нуля, а решением первого уравнения является
.
Определим знаки производной исследуемой функции слева и справа от данной точки:
 |
- +
х
Следовательно, точка 
является точкой минимума функции 
, и в этой точке данная функция принимает наименьшее значение.
Таким образом, 
является первым слагаемым в разложении числа 3. Определим второе слагаемое, так как
, то
.
Следовательно, число 3 можно представить как сумму чисел 
и , причем сумма четвертых степеней данных слагаемых будет наименьшей.
Ответ: 
+ 
.
Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на промежутке 
.
Решение:
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции определим ее критические точки.
Вычислим производную заданной функции:
Для нахождения критических точек необходимо решить уравнение 
или
Разложим синус двойного аргумента по формуле 
, получим:
Вынесем общий множитель за скобку:
.
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
, 
или 
.
Решая каждое из полученных простейших тригонометрических уравнений, получим:
, 
.
Чтобы выделить критические точки, принадлежащие заданному промежутку 
, необходимо решить неравенство 
.
Данное неравенство равносильно совокупности неравенств:
,
решая данные неравенства определим значения целых чисел n и k, при которых критические точки попадают в заданный интервал .
Рассмотрим решение каждого неравенства:
| 
| ||
Разделим неравенство на p, получим:
Так как n может принимать только целые значения, заключенные в промежутке
 ,
то n = 0 или n = 1
| Разделим неравенство на p, получим:
Из полученного неравенства выразим 2 k:
или 
Приводя подобные члены, получим:
 или  .
Разделим оба неравенства на 2:
 или  .
Так как число k может принимать только целые значения из полученных промежутков, то первое неравенство решений не имеет, а во втором k = 0.
|
Определим критические точки при полученных значениях для n и k:
при n = 0 х = 0;
при n = 1 х = p;
при k = 0 
.
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции необходимо найти значения исходной функции на концах заданного промежутка и в каждой из вычисленных критических точек. Учитывая, что критические точки 
и х = p совпадают с границами заданного промежутка, то для решения исходной задачи достаточно найти значения функции в точках х = 0, и х = p.
Найдем эти значения:
;
;
.
Из полученных значений нужно выбрать наибольшее и наименьшее. Наибольшее значение функции достигается в точке p и равно 3, а наименьшее – в точке и равно 
.
Ответ: 
