Пример 1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке и найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох.

Решение:

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу (*):

,

Поэтому необходимо вычислить значение функции в точке и значение производной в данной точке.

Вычислим значение функции в точке :

Применяя формулы дифференцирования, найдем производную исходной функции:

;

Определим значение производной в точке :

. (***)

Подставляя найденные значения в формулу (*), получим:

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение касательной к графику заданной функции в точке :

.

Для нахождения тангенса угла наклона касательной, воспользуемся формулой (**) и значением производной в точке (***):

; .

Ответ: -уравнение касательной,

- тангенс угла наклона.

 

Пример 2. Написать уравнение касательной к графику функции в точке

Решение:

Уравнение касательной к графику функции будем находить при помощи формулы(*). Найдем значение функции в точке :

Определим производную заданной функции:

Вычислим значение производной в точке :

.

Для вывода уравнения касательной подставим полученные значения в формулу (*):

Ответ: .

 

Пример 3. Составить уравнения касательных к кривой

,

проходящих через точку .

Решение:

Проверим, принадлежит ли заданная точка А параболе ? Для этого подставим координаты точки А в уравнение параболы:

Так как координаты заданной точки А не удовлетворяют условию , то это значит, что точка А не лежит на графике заданной функции. Поэтому, прежде всего надо найти точки на параболе, через которые пройдут искомые касательные. Обозначим координаты этих точек через

Найдем уравнения касательных, проходящих через эти точки, пользуясь формулой (*). Для этого:

1. Вычислим значение функции в точке :

;

2. Найдем производную исходной функции:

3. Вычислим значение производной в точке :

.

4. Подставим найденные значения функции и ее производной, вычисленные в точке , в формулу (*):

; (****)

Полученное уравнение – это уравнение касательной, проведенной к заданной параболе в точке . Найдем координаты точки касания . Так как по условию задачи эта касательная должна проходить через точку А, следовательно, ее координаты удовлетворяют полученному уравнению. Заменяя координаты на координаты точки А(2;8) в уравнении (****), получим:

.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем неполное квадратное уравнение:

или

Это уравнение равносильно совокупности уравнений:

, следовательно, .

Определим ординаты полученных точек:

при ,

при

Таким образом, через точку А(2;8) проходят две касательные к заданной параболе. Точки касания имеют координаты и .

Для составления уравнений касательных найдем значения производных в эти точках: так как , то ; . Подставляя полученные значения в формулу (*), найдем уравнения касательных к параболе в точках с координатами (0;2) и (4;30): . х Ответ:

 

 

У

 

А (2;8)

 

 

 

Пример 4. Найти координаты точки А, в которой касательная к параболе образует с осью Ох угол 45°.

Решение:

Найдем тангенс угла наклона касательной, проведенной в искомой точке, к оси Ох, применяя формулу (**):

Угол a по условию задачи равен 45°, следовательно,

Так как , то получим

,

откуда

или

Определим ординату полученной точки. Для этого подставим значение в уравнение параболы , получим:

.

Таким образом, искомая точка имеет координаты А(1;-12).

Ответ: А(1;-12).

 

ПРОИЗВОДНАЯ В ФИЗИКЕ

(§5, п.21)

 

Механический смысл производной функции - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался рассматриваемой функцией , производную, с физической точки зрения, можно представить как скорость, с которой протекает процесс.

В частности, если S – это путь, пройденный точкой за время t, то функция S=S(t) задает закон движения точки, а производная - определяет скорость v(t ), с которой движется точка в момент времени t, т.е.

Скоростью тела в произвольный момент времени t называется производная по времени от закона движения тела:

а) прямолинейное движение:

скорость тела, закон движения тела;

(*)

б) круговое движение

угловая скорость тела, закон движения тела;

 

Ускорением тела в произвольный момент времени t называется производная по времени от скорости тела:

а) прямолинейное движение

(**)

б) круговое движение

Пример 1. Маховик вращается по закону

рад.).

Через сколько времени от начала движения угловая скорость маховика будет равна 3 рад/сек? Чему равно ускорение в этот момент времени?

Решение:

Определим угловую скорость маховика в произвольный момент времени t. Так как скорость тела – это производная от закона движения, то

(рад/сек).

Для того, чтобы найти время, при котором скорость тела равна 3 (рад/сек), необходимо решить уравнение:

или ,

откуда , (cек).

Таким образом, через 3 секунды от начала движения скорость маховика будет равна 3 рад/сек.

Чтобы вычислить ускорение в данный момент времени, нужно определить ускорение тела в произвольный момент времени t, для чего применим формулу (**):

, получим:

.

Для нахождения ускорения в момент времени 3 сек., необходимо в полученное выражение вместо параметра t подставить 3, получим:

.

Ответ: t = 3 (сек.); а(3)= 2

 

Пример 2. Тело, выпущенное вертикально вверх, движется по закону:

(м)

Найти скорость тела в момент соприкосновения с землей.

Решение:

Найдем момент времени, при котором тело соприкоснется с землей. В это время расстояние от тела до земли будет равно нулю, т.е. , значит, для нахождения этого времени необходимо решить уравнение

или .

Вынесем общий множитель за скобку, после чего каждый сомножитель приравняем к нулю:

,

, , .

Таким образом, тело соприкоснется с землей через 3 сек.

Найдем скорость тела в произвольный момент времени t, используя формулу (*):

.

Определим скорость тела в момент времени 3 сек:

(м/сек).

Ответ: (м/сек).

 

 

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ

(§6, п.22-24)

 

Исследование функции и построение ее графика удобно проводить по следующей схеме:

1. Область определения функции.

2. Производная.

3. Критические точки.

4. Промежутки возрастания и убывания функции.

5. Значения функции в критических точках.

6. Точки пересечения с осями координат.

7. Экстремумы функции.

8. Построение графика функции.

 

Результаты исследования функции целесообразно свести в таблицу, а построение графика начать с нанесения точек максимума и минимума, а также точек пересечения с осями координат.

Для исследования функции необходимо знать следующие определения:

 

- Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная не существует или равна нулю, называются критическими.

- Точки, в которых производная меняет свой знак с плюса на минус, называются точками максимума функции.

- Точки, в которых производная меняет свой знак с минуса на плюс, называются точками минимума функции.

- Функция называется возрастающей на промежутке [a;b], если ее производная положительна на этом отрезке.

- Функция называется убывающей на промежутке [a;b], если ее производная отрицательна на этом отрезке.

- Точки минимума и максимума называются экстремумами функции.

Для того, чтобы найти точки пересечения графика функции с осью Ох, надо решить уравнение , в частных случаях в этих точках возможно лишь касание графика оси Ох.

Для того, чтобы найти точки пересечения графика функции с осью Оу, нужно вычислить значение функции в точке х = 0, если эта точка входит в область определения функции.

Рассмотрим применение схемы исследования функции при решении задач.

 

Пример1. Исследовать функцию и построить ее график.

 

Решение:

Исследование проведем по приведенной выше схеме:

1. Область определения функции – вся числовая прямая, так как - многочлен, то есть

2. Вычислим производную функцию:

3. Производная функции определена на всей числовой прямой, поэтому критических точек, в которых производная не существует, нет. Найдем точки, в которых производная равна нулю.

, откуда ,

, .

Следовательно, рассматриваемая функция имеет две критические точки.

4. Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции определим знак производной слева и справа от критических точек:

 

+ - +

х

Таким образом, в промежутках

- функция возрастает,

- функция убывает.

5. Вычислим значения функции в критических точках.

6. Найдем точки пересечения с осями координат.

Точки пересечения с осью Ох:

;

Последнее уравнение системы равносильно совокупности двух уравнений, решая которые, получим:

, , , , .

Найденные значения – это абсциссы точек пересечения графика заданной функции с осью Ох.

Точки пересечения с осью Оу:

Для нахождения этих точек необходимо вычислить значение функции в точке х = 0.

.

Таким образом, график пересекает ось Оу в начале координат.

7. Результаты исследования функции занесем в таблицу:

 

х

f(x)

+

-

+

3,1

-3,1

Экстре- мумы

max

min

 

 

8. Опираясь на полученные данные построим график функции:

 

 

у

О х