Расчет наращенных сумм в условиях инфляции

 

В целях уменьшения воздействия инфляции и компенсации потерь от снижения покупательной способности денег используются различные методы. Один из них – индексация процентной ставки. Сущность его в том. Что процентная ставка корректируется в соответствии с темпом инфляции. Ставку, скорректированную на инфляцию, условно можно назвать брутто-ставкой ().

где In – индекс инфляции;

n – срок кредита;

i - номинальная процентная ставка.

 

Пример 9. Банк выдал на 6 месяцев кредит – 0,5 млн. руб. Ожидаемы месячный уровень инфляции – 2%, требуемая реальная доходность операции равна 10% годовых. Определить ставку процентов по кредиту с учетом инфляции, размер наращенной суммы и величину процентного платежа.

 

При выдаче долгосрочных кредитов сложная процентная ставка, обеспечивающая при годовом уровне инфляции , реальную эффективность кредитной операции, определяется по формуле

Пример 10. Кредит в 1,5 млн руб выдан на 2 года. Реальная доходность должна составлять 11% годовых (сложные проценты). Расчетный уровень инфляции 16% в год. Определить ставку процентов при выдаче кредита, а также наращенную сумму.

 

В случае, когда применяется величина индекса инфляции за весь срок кредита, процентная става, учитывающая инфляцию, определяется по формуле:

Пример 11. Кредит 2 млн руб выдан на 3 года. На этот период прогнозируется рост цен 1,5 раза. Определить ставку процентов при выдаче кредита и наращенную сумму долга, если реальная доходность должна составлять 12% по ставке сложных процентов.

 

 

Консолидация платежей

 

Изменение хозяйственной ситуации нередко побуждает одну из сторон-участниц коммерческой сделки обратиться к другой стороне с предложением изменить условия ранее заключенных соглашений.

Наиболее часто предлагается: изменить сроки платежей в один (консолидировать платежи) с установлением единого срока погашения и т.п. Естественно, что предлагаемые изменения должны быть безубыточны для обеих сторон, т.е. основным принципом изменения условия сделки (контракта) является принцип финансовой эквивалентности. Для решения таких задач используется уравнение эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенной к той же дате.

При консолидации нескольких платежей в один при условии, что срок нового консолидированного платежа больше ранее установленных сроков, т.е. n0 >n1, n2, …..nj, уравнение эквивалентности имеет вид:

где S0 – наращенная сумма консолидированного платежа;

S1, S2,….Sj – платежи, подлежащие консолидации, со сроками уплаты n1, n2…nj;

tj- временные интервалы между сроком n0 и nj, т.е. tj = n0-nj.

Рассмотрим использование данного уравнения.

Задача 12. Фирма получила кредит на сумму 900тыс.руб под 10% годовых (простые проценты). Кредит должен быть погашен двумя платежами: первый – 500 тыс. руб. с процентами через 90 дней, второй – 400 тыс. руб. с процентами через 120 дней. Впоследствии фирма договорилась с кредитором об объединении платежей в один со сроком погашения через 150 дней.

Необходимо определить размер консолидированного платежа (К=360).

 

Суммы, подлежащие возврату на старых условиях:

Сумма погашения консолидированного платежа будет равна:

Так как принцип эквивалентности состоит в том, что первоначальная сумма Р в начале периода эквивалентна платежу S в конце периода, то дисконтированная сумма консолидированного платежа на момент предоставления кредита должна быть равна сумме полученного кредита:

 

Объединение платежей может производиться на условиях, предусматривающих разные сроки выплаты консолидированного платежа.

Поэтому в общем случае величину консолидированного платежа определяют по формуле:

где Sj - суммы объединенных платежей, сроки погашения которых меньше нового срока nj<n0;

Sk – суммы объединяемых платежей со сроками, превышающими новый срок, nk>n0

Соответственно, tj = n0-nj, tk = nk-n0.

Задача 13. Фирма в погашение задолженности банку за предоставленный под 15% годовых (простые проценты) кредит, полученный 01.01, должна произвести три платежа – 200 тыс. руб.; 270 тыс. руб. и 330 тыс. руб. в сроки 20.04, 25.05, 15.06. Фирма предложила банку объединить все платежи в один и погасить его 01.06. (К=365)

Определите величину консолидированного платежа.

 

= 20.04 - 01.06= 42 дня,

= 7 дней,

= 14 дней.

 

При консолидации платежей с использованием сложной процентной ставки применяется следующая формула:

 

Задача 14. Два платежа = 1,7 млн руб и = 1,3 млн руб. со сроками погашения 1 год 30 дней и 1 год 45 дней, отсчитываемыми от одной даты, заменяются одним платежом со сроком 1 год 75 дней. Стороны согласились на консолидацию платежей при использовании ставки сложных процентов 9% годовых. Определите сумму консолидированного платежа. (к=365)

= 1 год 75 дней – 1 год 30 дней = 45 дней.

= 1 год 75дней – 1 год 45 дней =30 дней.

 

Вопрос о консолидации платежей можно решить и по другому принципу: партнеры заранее обусловливают сумму консолидированного платежа, при этом необходимо рассчитать срок его уплаты, сохраняя при этом принцип эквивалентности, Срок уплаты консолидированного платежа определяется по формуле:

где S0- сумма консолидированного платежа;

Р0 – современная величина консолидируемых платежей;

i- процентная ставка, используемая при консолидации.

 

Задача 15. Фирма имеет ряд финансовых обязательств перед одним кредитором – 2,5 млн. руб, 3,1 млн руб, 2,7 млн руб, которые должна погасить через 40, 70 и 160 дней после 01.01 текущего года. По согласованию сторон решено заменить их одним платежом, равным 9 млн руб., с продлением срока оплаты, используя процентную ставку i=12%. (К=365)

Необходимо найти срок уплаты консолидированного платежа.

 

Современная величина (Р0) объединяемых платежей составит:

 

В случае договоренности партнеров о консолидации платежей без изменения общей суммы платежа, т.е. S0=∑ Sj, срок консолидированного платежа рассчитывается по формуле:

 

Задача 16. Платежи в размере 2,5 млн руб., 3,1 млн руб и 2,7 млн. руб. должны быть внесены 40, 70 и 160 дней после 01.01 текущего года. Достигнуто соглашение на объединение этих платежей без увеличения итоговой суммы, т.е. S0=∑ Sj. Определите срок уплаты консолидированного платежа.

 

Потоки платежей

Потоки платежей – это последовательные во времени платежи, например, пенсии, выплаты по купонам облигаций и т.д.

Характеристики потоков платежей::

- регулярным потоком платежей (финансовой рентой) называются платежи, у которых выплаты постоянны, происходят по установленным правилам и интервалы между платежами одинаковы;

По моменту выплат в пределах периода между платежами ренты делятся на:

- постнумерандо (выплаты производятся в конце периода);

- пренумерандо (выплаты производятся в начале периода);

- ренты с платежами в середине периода.

Наращенная сумма потока платежей – это сумма всех выплат с начисленными на них к концу срока сложными процентами.

Современная стоимость потока платежей – это сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока этого потока по сложной процентной ставке.

Наращенная сумма такого потока платежей рассчитывается по формуле:

Современная стоимость потока платежей определяется соотношением:

Задача 17. Имеется следующий график платежей во времени:

1 января 2011 г – 20 000 руб

1 июля 2011 г – 30 000 руб

1 января 2012 г – 10 тыс руб

1 января 2013 г – 40 тыс руб

Определите сумму задолженности на 1 января 2013 г и ее современную стоимость на момент выплаты первой суммы при ставке наращения 15% годовых.

Современная стоимость потока платежей составит:

 

Постоянная рента

Годовая рента

Годовая рента постнумерандо предусматривает выплаты и начисление процентов один раз в конце года.

Наращенная сумма годовой ренты концу срока вычисляется по формуле:

Задача 18. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 000 рублей в течение 7 лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определите величину фонда на конец срока.