Приближенные аналитические методы решения уравнений

6.1 Метод последовательных приближений (метод Пикара)

Метод последовательных приближений состоит из двух этапов. На первом этапе

задача Коши

(уравнение), (1)

(начальное условие) (2)

сводится к эквивалентному интегральному уравнению

(3)

Затем решение уравнения (3) ищется с помощью последовательных приближений по формуле

Выбор начального приближения безразличен; проще всего за начальное приближение взять число . Указанный процесс сходится при , если выполнены условия теорем из разд. 1.2.

6.2 Метод разложения в ряд Тейлора по независимой переменной

Решение задачи Коши (1) – (2) можно искать в виде ряда Тейлора по степеням

разности (х – х₀):

(4)

Первый коэффициент в решении (4) задается начальным условием (2).

Последующие значения производных искомой величины в точке х = х₀ определяются из уравнения (1) и его следствий (полученных путем последовательного дифференцирования уравнения) с учетом начального условия (2). В частности, полагая в уравнении (1) х = х₀ и подставляя значение (2), находим значение первой производной:

(5)

Дифференцируя далее уравнение (1), имеем

(6)

Подставив в правую часть этого равенства х = х₀, начальное условие (2) и первую производную (5), вычислим значение второй производной:

Подобным образом определяются и последующие производные искомой величины при х = х₀.

Полученное данным методом решение (4) обычно можно использовать лишь в

некоторой (достаточно малой) окрестности точки х = х₀: .

П р и м е р 11. Найти первые четыре члена разложения решения задачи Коши:

Подставляя в исходное уравнение начальные условия, находим Дифференцируем исходное уравнение:

Подставляя сюда начальные условия, находим Дифференцируя последнее уравнение и подставляя в полученное выражение для начальные условия, находим Аналогичным образом Окончательно

6.3 Метод регулярного разложения по малому параметру

Рассмотрим уравнение общего вида с параметром :

(7)

Пусть функция f может быть представлена в виде степенного ряда по параметру :

. (8)

Решение задачи Коши для уравнения (7) с начальным условием (2) при ищут

в виде регулярного разложения по степеням малого параметра:

, . (9)

Выражение (9) подставляют в уравнение (7) с учетом представления (8). Затем функции f_n разлагают в ряд по малому параметру и собирают члены при одинаковых степенях . Приравнивая выражения при одинаковых степенях малого параметра правой и левой частях полученного равенства, приходят к системе уравнений для функций :

(10)

(11)

Здесь выписаны только первые два уравнения, штрихом обозначены производные по х. Начальные условия для функций получаются из (2) с учетом разложения (9):

Успех применимости данного метода, в первую очередь, определяется

возможностью построить решение уравнения (10) для главного члена разложения . Важно отметить, что остальные члены разложения при описываются линейными уравнениями с однородными начальными условиями.

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Индивидуальное задание содержит 10 примеров на интегрирование дифференци-

альных уравнений различных типов, рассмотренных в методических указаниях.

Прежде чем приступить к выполнению задания, необходимо приобрести навыки

свободного владения всеми методами решений, приведенными в методических указаниях.

Рекомендуется следующий порядок решения дифференциальных уравнений:

1. Определить тип уравнения и привести его к стандартному виду.

2. Выполнить необходимые при интегрировании данного уравнения квадратуры.

3. Записать ответ в виде общего решения или общего интеграла.

4. Записать дополнительные частные и особые решения.

5. Если решается задача Коши, то по начальным данным следует определить значения постоянной, входящей в состав общего решения.

6. Желательно сделать проверку полученного решения.

Образцы решения всех типовых задач имеются в тексте методических указаний.

В а р и а н т 1

1. 6. ;

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В а р и а н т 2

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В а р и а н т 3

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В а р и а н т 4

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В а р и а н т 5

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В а р и а н т 6

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В а р и а н т 7

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В а р и а н т 8

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В а р и а н т 9

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В а р и а н т 10

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В а р и а н т 11

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В а р и а н т 12

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В а р и а н т 13

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В а р и а н т 14

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В а р и а н т 15

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В а р и а н т 16

10.

В а р и а н т 17

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

В а р и а н т 18

1. ; 6. ;

2. ; 7.

3. ; 8.

4. 9. ;

5. 10.

В а р и а н т 19

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10. .

В а р и а н т 20

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10.

В а р и а н т 21

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10.

В а р и а н т 22

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10.

В а р и а н т 23

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10.

В а р и а н т 24

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10. .

В а р и а н т 25

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10. .

В а р и а н т 26

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10.

В а р и а н т 27

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10.

В а р и а н т 28

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10.

В а р и а н т 29

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10.

В а р и а н т 30

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10.

Список литературы

1. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. – Физматлит, 2005.

2. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Издание 3 – URSS: 2009.

3. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов под редакцией Б.П. Демидовича. – М: “Интеграл – пресс”, 1997.

4. Бабиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: “Высшая

школа”, 1991.

5. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: «РХД», 2000.

6. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. – М:Наука, 1980.

7. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

Учебное издание