Интегрирования
2.1 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
§ Уравнения с разделенными переменными имеют вид
Эквивалентная запись уравнения: 
(правая часть уравнения зависит только от х, а левая – только от у). Общее решение получается почленным интегрированием:
где С – произвольная постоянная.
П р и м е р 1. Решить уравнение 
.
Записав уравнение в виде 
и представив это как 
, интегрируя имеем
или у = С/х. Решением является также у = 0.
§ Уравнения с разделяющимися переменными имеют вид
Делим обе части на 
В результате приходим к уравнению с разделенными переменными. После интегрирования получим
Замечание. При почленном делении уравнения на 
могут быть потеряны решения, обращающие функцию 
в нуль, а также решение вида х = а, где 
.
П р и м е р 2. Проинтегрировать уравнение 
.
Разделяем переменные 
Интегрируя находим 
Откуда 
При делении на 
могли быть потеряны решения 
2.2 Уравнение вида 
Замена 
приводит данное уравнение к уравнению с разделенными переменными 
см. разд. 2.1.
2.3 Однородные уравнения и приводящиеся к ним
§ Однородные уравнения не меняются при одновременном растяжении
(сжатии) независимой и зависимой переменных по правилу: 
где 
- произвольная постоянная 
Они могут быть записаны в виде 
Замена 
приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными 
см. разд. 2.1
П р и м е р 3. Решить уравнение 
Подстановка 
приводит это уравнение к виду 
или 
Интегрируя находим 
и 
.
§ К однородному уравнению приводится уравнение
При 
надо перейти к новым переменным 
где постоянные 
и 
определяем путем решения линейной алгебраической системы
В результате для функции 
получим уравнение
Последнее после деления числителя и знаменателя аргумента функции f на 
принимает вид однородного уравнения, правая часть которого зависит только от отношения переменных 
При 
см. уравнение из разд. 2.2.
П р и м е р 4. Решить уравнение 
Находим точку пересечения прямых, полученных приравниванием к нулю числителя и знаменателя:
Откуда х0 =1, у0 = 2. После замены 
уравнение принимает вид
или 
Получилось однородное уравнение, которое решается заменой 
В результате находим
.
Возводя в квадрат и возвращаясь к старым переменным, имеем
2.4 Обобщенно-однородные уравнения и приводящиеся к ним
§ Обобщенно-однородные уравнения не меняются при одновременном
растяжении (сжатии) независимой и зависимой переменных по правилу: 
где 
произвольная постоянная, а k – некоторое число. Они могут быть записаны в виде
Замена и = ух-k приводит обобщенно-однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными 
, см. разд. 2.1.
§ К обобщенно-однородному уравнению сводится уравнение
Для этого надо сделать замену z = ex и положить 
2.5 Линейное уравнение
Линейное уравнение первого порядка имеет вид
Решение ищем в виде произведения y = uv, где функция v = v(x) удовлетворяет «укороченному» уравнению 
[в качестве такой функции можно взять частное решение v = e-F, где 
]. Для функции и = и(х) получим уравнение с разделяющимися переменными 
Интегрируя уравнение для и, находим общее решение
где 
П р и м е р 5. Решить задачу Коши: 
Записываем это линейное уравнение в стандартном виде
Полагая y = u z, получим 
Сгруппировав слагаемые, получим два уравнения:
и 
Записываем первое в виде 
, откуда и = х 2 + 1. Подставляя это во второе уравнение, находим 
= 1 или v = х + C. Подставляя сюда х = 1, у = 2, получим С = 0. Решение задачи Коши имеет вид у = х(х2+ 1 ).
2.6 Уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли имеет вид
Подстановка z = y1-a приводит его к линейному уравнению 
которое рассматривается в разд.2.5. Учитывая сказанное, получим общий интеграл
где 
П р и м е р 6. Проинтегрировать уравнение 
Здесь а =1/2, тогда замена у = z 2 приводит данное уравнение Бернулли к линейному уравнению 
интегрируя которое находим 
, следовательно 
.
2.7 Уравнение вида 
Замена и = у / х приводит данное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными 
см. разд. 2.1.
