Тетелес сандар арасындағы өзара -кері қатынастарды жиындарды салыстыру негізінде оқып үйрену.

Салыстырылатын жиындардың элементтерін салғастыра білітіндіктеріне сүеніп, балалар ең алдымен тең емес жиындарды және, керсінше, тең жиындадан тең емес жиындар жасай білуге үйренулері керек. Мысалы, олардың карточкаларынын жоғарғында жеті дөнгелекше, ал төменгісінде сегіз дөнгелекше орналастырылған. Сегіз дөнгелекше бар жолақта олардың, ал жеті дөнгелекше барында олардың аз екенін балалар көреді. Балалар ең алдымен сегіздің көп, ал жетінің аз екенін ұғып алады.

Бірақ үлкен - кіші (көп,аз) ұғымдары салыстырмалы ғой. Сегіз саны әрқашан үлкен, ал жеті саны кіші бола ма? Бұл сұрақты балалар ұғынып алатын ету керек: «Сегіз неден үлкен?» - «Сегіз жетіден үлкен», - «Жеті неден кіші?» - «Жеті сегізден кіші»

«Ал екі жолақта бірдей болу үшін не істеу керек?»

Балалар ойланып: - «Тағы қосу керек».

Бірақ бұл дәл жауап емес: қайда қосу, неге нені қосу керектігін айтқан жөн.

- «Егер жеті дөнгелекшеге бір дөнгелекше қоссақ, жоғарда сегіз дөнгелекше».

- «Бұл дұрыс, бірақ бұдан бұрын сегіз санын қандай санмен салғастырғанымыз жөнінде қортынды жасалуы тиіс. Ойландар, сегіз қандай саннан үлкен?».

- «Сегіз жетіден үлкен».

- «Ал сегіз қандай саннан кіші болуы мүмкін?»

- «Тоғыздан, тоғыздан».

- «Сегіз жетіден үлкен деп сендер дұрыс айттындар. Ал екі жолақтағы дөнгелекшелер санын қалайшы теңестіруге болады?»

- «Біз жеті дөнгелекшеге тағы да бір дөнгелекшені қостық, сонда жоғарғы жолақта да сегіз дөнгелекше болды».

- «Егер сегіз жетіден үлкен болса, онда жеті саны жөнінде не айтуға болады?»

- Балалар жауап беруге қиналатын болса: «Жеті қандай саннан кіші болғаны?»

- «Сегіз саннан».

- «Жеті саны сегізден кіші, ал сегіз саны жетіден үлкен», - деп сандардың арасындағы қатынастарды атап көрсету.

«Сегізден кіші», «Жетіден үлкен» деп балалар бірден айта алмайды.

Олар: «Алты бестен үлкен», «Жеті сегіден кіші».

Бұлай айтуға болады, бірақ мұндай тұжырымдамада сандар арасындағы қатынастар емес, тек сыртқы байланыстары ғана көрсетіледі. Алғашқы кезде санды балалар салыстырмалы ұғым ретінде емес, абсолюттік ұғым ретінде қабылдайтыны мәлім. Сондықтан олар былай дейді: «Жеті кейін, ал алты бұрын келеді, демек жеті үлкен», яғни сандардың сырт қарағандағы реті негізінде тұжырым жасайды. Ересек балалар үлкен – кіші (көп, аз) деген сөздердің салыстырмалы мәнін түсініп алулары керек. Ол үшін оларға қандай сандар қандай сандардан үлкен және керісінше, қандай сандар қандай сандардан кіші деген қатынастарды айқындап беру керек. Бұл қатынастар мынандай тұжырымдамаларда да атап көрсетілуі тиіс: «Жеті алтыдан үлкен, ал алты жетіден кіші».

Балалар бұрынғысынша: «Сегіз үлкен, ал жеті кіші» деген жағдайларда, тәрбиеші оны түзетпей балаларға мынандай сұрақ қояды: «Ал қандай саннан үлкен, оны дәлірек қалай айтуға болады?»

Балалар айқын тұжырымдама бергенше, тәрбиеші сандардың арасындағы қатынастарды көрсете білуге үйретуді көздеу қажет

Бұдан кейін балаларды тетелес сандардың арасындағы айырмалық қатынастарды практика жүзінде тағайындаға келтіруге болады.

Жиындарды салыстырғанда артық, жетпейді (кем) сөздерінің мәндерін айқындап ашып алу керектігін тәжірибе көрсетті. Тең қуатты емес жиындардантең қуатты жиындар жасағанда, жиында төрт зат бар, оның үшеуін қалдыру керек болса, бір затты алып қою керектігі, ол артық екендігін; егер керсінше, жиында үш дөнгелекше бар, ол төртеу болуы тиісболса, онда бір дөнгелекшені қосу керектігі, өйткені бір бір дөнгелекше жетпей тұрғанын балалар түсініп алулары керек. Тетелес сандардан құрылған әр түрлі жиындарды алып, балалар олардың теңдігін екі жолмен тағайындайды; не кіші санға бірді қосады, не үлкен саннан бірді шегереді.

Балалар жақсы ұғынып алған бұл өзара-кері қатынастарды ауызша жауап берген кезде көрсетіп отырылуы тиіс: «Сегіз жетіден үлкен, сондықтан, егер сегізден бірді шегерсек, жеті шығады, бірдей болды; бірақ басқаша да істей аламыз: жеті сегізден кіші, мұнда біреуі жетпейді, сондықтан, егер жетіге бірді қоссақ, екі топта сегіз-сегізден, бірдей болып шығады».

Балалар енді тетелес сандар арасындағы айырмалық қатынастар жөніндегі сұраққа да жауап беру қиын болады. «Сегіз санының жетіден нешеу артық?»

«Сегіз санының жетіден біреуі артық».

- «Жеті санның сегізден нешеуі кем?»

- «Жеті санының сегізден біреуі кем», - деп жауап береді балалар.

Тетелес сандар арасындағы өзара-кері қатынастарды түсіну балаларда бірден қалыптаспайды және бірте-бірте үйретуді талап етеді.

Іс жүзінде біз қандай қателерді кездестіреміз? Нақтылы жиындарды салыстырғанда балалар көбінесе былай дейді: «Сегіз үлкен, ал жеті кіші».

«Сегіздің жетіден нешеуі артық?»

«Біреуі». Ал кейде мынандай жауап естеуге болады: «Сегіздің біреуі артық».

Мұның себебі сұрақ пен жауап көрнекі материалға сүйеніп беріліп отыр, сондықтан тәрбиеші мұнандай жауапты дұрыс деп есептейді, өткені бәрі айқын көрініп тұр. Алайда мұнандай жауаптан балалардың сандар арасындағы қатынастарды түсінбейтіндігін көруге болады. Әрқашан не біреуі артық; не біреуі кем болады, басқаша болмайды дегенге балалар дағдыланып кетеді (себебі мектеп жасына дейінгі балаларға тек тетелес сандар үшін ғана өзара-кері қатынастар белгілі). Тәрбиеші балалардың тұжырымдамаларына жеткілікті назар аудармаса, оларда қате түсініктер қалыптасады.

Екі жолаққа бес дөнгелекше мен алты үшбұрыш тізіп қойды.

Қайсысы сан қайсысынан кішінемесе үлкен деген сұраққа Роза былай деп жауап береді: «Алты үлкен, ал бес кіші»

- «Қайсы санның қайсы сандардан үлкен не кіші екенін бәрің түсіндіндер ме?

- «Ешнәрсе түсінген жоқпыз».

- «Роза нені айтуды ұмытты?»

- «Ол бестің алтыдан кіші, ал алтының бестен үлкен екенін айтуды ұмытты».

- Дұрыс Роза бұл сандарды салыстырмады және бес саны қайсы саннан еіші екенін айтпады.

- Ал бес санының алтыдан нешеуі кем екенін кім айтады?

- «Бес санының алтыдан біреу кем», - дейді Алмат.

- Алмат: «Жоғарға жолаққа бес дөнгелекше, төменгі жолаққа алты үшбұрышты қойдым, олардын арасындағы сәйкестікті тағайындайтын болсам бес дөнгелекше алты үшбұрыштан кем. Бес дөнгелекшенің, үшбұрыштар қанша болса, сонша болуы үшін, бір дөнгелекше жетпейді. Бес дөнгелекшеге бір дөгелекше қоссақ, олар алтау болады, үшбұрыштың біреуін алып тастасақ, сонда олар бесеу, яғни дөнгелекшелер нешеу болса, сонша болып шығады: екі жолақта да бес-бестен, тең болады»

Балалардың логикалық ойлау қабілетін дамыта отырып, осындай жауап беруге дағдыландыру керек.

Сонымен бірге балаларға бес санын төрт санымен салыстыруға болады. Бұл болса бес санының алтыдан кіші болуымен бірге, төрттен үлкен де болатынын, яғни бір санның өзі біз оны қандай санмен салыстырғанымызға байланысты «үлкен» де «кіші» де бола алатынын балаларға көрсетеді.

Балалар тетелес сандар арасындағы қатынастарды жақсы ұғынып алғаннан кейін, тетелес сандарды көрнекі материалсыз –ақ айырмалық салыстыруға күрделірек тапсырмалар беруге әбден болады. «Егер мен тоғыз бен сегізді атайтын болсам, бұлардың қайсысы қайсысынан үлкен, ал қайсысы қайсысынан кіші болғаны?» -деп сұрайды тәрбиеші. «Сегіз санының тоғыздан біреуі кем ал тоғыз санының сегізден біреуі артық». – «Ал екеуі тең болу үшін не істеу керек?» - деп тәрбиеші жаңа сұрақ қояды. «Тоғыз санынан бірді шегеру керек, -дейді Коля, - сонда екі жиында да сегіз –сегізден, тең болады. Басқаша да істеуге болады –сегізге бірді қоссақ, екі жиында тоғыз –тоғыздан, тең болады». –«Коля, көрсетіп жіберші». Коля өзінің жаңа ғана айтқанын көрсетеді.

Балалар жаттанды сөз тіркестерін қайталай салмай, жауап беруден бұрын ойланып алуы үшін, кейде айырма бір санымен берілмей, мысалы, екі санымен берілетіндей шарттар ұсынған дұрыс. «Мен алты мен сегіз сандарын атаймын, ал сендер олардың қайсысы үлкен, қайсысы қайсысынан кіші және қанша кіші екенін ойластырып, айтыңдар». Кейде балалар қате жауап беруге бейім болады, бірақ көрнекі материалмен дәлелдей отырып, олар өз қателерін байқап қалады. «Мен қателесіппін, -дейді Миша –алтының сегізден екуі кем, ал мен біреуі кем деп айттым. Мен дұрыс ойламаппын». Т.с.с. Осындай мысалмен тәрбиеші, бір жағынан, балаларды сандардың арасындағы қатынастарды меңгеріп алуға, екінші жағынан, жаттанды жауап қайтармастан, сол қатынастарды ұғынып, ойлануға дағдыландырады.

Бір санның екінші саннан үлкен не кіші екенін балаларға жеке заттарды ғана емес, сондай –ақ құрамына бірнеше бөлік енетін жиындарды да алып көрсету қажет. Мысалы, геометриялық фигуралардың бір жиыны бес бөліктен (квадраттардан, дөңгелектерден, үшбұрыштардан, овалдардан, трапециялардан) құралған, ал екінші төрт бөліктен (квадраттардан, дөңгелектерден, үшбұрыштардан, овалдардан) құралған. Жиындардың бөліктерінің санын салыстыра отырып, балалар бұл жағдайда да бес саны төрттен артық, ал төрт саны бестен кем болады деген тұжырым жасайды. Осылайша балалар мынадай қорытындыға келеді: сан немен өрнектелсе де: жеке заттармен бе әлде топтармен бе, бәрібір, оның әрқашан алдыңғы саннан біреуі артық және келесі саннан біреуі кем болады. Осы бақылаулардың бәрі және екі жиын элементтерін іс жүзінде салыстыру балаларда тетелес сандар арасындағы сандық қатынастарды тұрақты ұғынуды қалыптастырады. Баланың сана –сезімінде бес санының төрттен үлкен болатындығы оның аталуда бір санынан алыс тұрғандығында емес, ондағы бірліктердің (жиын элементтерінің) төрт санындағыдан көптігінен болатындығы қалыптасқан.

Сан екі белгімен: есептік және реттік белгілерімен сипатталады, бұл екеуін де балалар меңгеріп алуы тиіс.

Ересек балалар тобында қандай да бір сан екінші саннан қанша артық немесе кем деген сұраққа ауызша жауап беруді бірден талап етпеген жөн. («Сегіз жетіден қанша үлкен?» және керісінше: «Жеті сегізден қанша кіші?»). Бұл сұраққа жауап беруден бұрын балалар екі жиынның тең қуатты еместігін көрнекі түрде және әлденеше рет көруі, олардағы элементтер санының теңдігін ұтымды тағайындап, сонан соң бәрін түсіндіріп үйренулері керек. Сонда ғана жоғарыда келтірілген барлық сұрақтар оларға түсінікті болады да, олар ойластырылған, көрнекі материал арқылы ұғынып алған жауап береді.Сыбықтырдың тағы да кейбір варианттарын келтірейік. Балалардың іс -әрекеттері мен жауаптарын түрлендіру мақсатымен жеке-дара ұсынылады: біреулері үш пен төрт сандарының арасындағы қатынастарды, екінші біреулері-алты мен бес сандарының арасындағы, үшіншілері-нон мен тоғыз сандарының арасындағы т.с.с қатынастырпды анықтаулары керек. Жолақтарға тізіп қою үшін сайлап алуға әр түрлі геометриялық фигуралар ұсынылады: біреулері-дөңгелектер мен овалдарды, екіншілері-трапециялар мен квадоаттарды, үшіншілері-тіктөрбұрыштар мен үшбұрыштарды т.с.с алады.

Тапсырмалар балалардың дайындық дәрежесіне сәйкес беріледі. Тапсырманы орындап болған балалар не істегендерін және қайсы сан қайсы саннан үлкен не кіші және қанша үлкен не кіші екенін дауыстап айтып береді.

Осылайша нақты материал алынып, балалар үйреніп отырған бірінші бестік сандары ғана емес, сондай -ақ екінші бестік, да салысырылады. Білімдер заттардың әр түрлі топтары пайдаланылып бекітіледі, сонда балалардың сандар арасындағы қатынастардың тұрақтылығына көздері жететін болады (бес саңырауқұлақ, бес шырша, бес конус, бес трапеция т.с.с сан жағынан әрқшан алты дөңгелектен, алты квадраттан, алты овалдан, алты балықтан, алты шыршадан кіші болады).

Көп-аз деген ұғым абсолютік емес, салыстырмалы ұғым екенін ескеріп, балалардың жауаптарында екі тәуелділікте (9>8, ал 8<9) аталуы және сандар тең болуы үшін не істеу керектігі көрсетілу жағынан бақылап отыру қажет.

Сандарды осылайша салыстыру және олардың қатынастарын анықтауда екі және үш сандарынан бастаған жөн. Тетелес сандарды салыстырғанда айырма әрқашан бір саннан тең болады. Сондықтан сандарды салыстырып үйретуді бір мен екі сандарынан бастаған дұрыс, өйткені бір санын әлі де болса балалар сан ретінде брік игеріп ала қоймаған және көбінесе жалғыз зат ұғымын жібереді. Бір мен екі сандарының арасындағыдан гөрі, басқа сандардың арасындағы бірге тең айырмалық қатынастарды көру және ұғыну балаларға оңайырақ.

Сөйтіп, нақтылы материалды пайдаланып, тетелес сандарды салыстыруға балаларды түрліше машықтандыру нәтижесінде олардың арасындағы қатынастарды түсіну ең алғаш бір затты қосу немесе алып тастау жолымен практикалық шеберлік негізінде тең қуатты емес жиындардан тең қуатты жиындарды құрастыра білу жіне соны негіз етіп алып сандардың өздерінің арасындағы өзара кері айырмалық қатынастарды түсіну қалыптасады.