Теорема Ролля:
Если функция y = f(x) удовлетворяет следующим условиям:
· Непрерывна на отрезке: f(x) принадл. C[a;b]
· Дифференцируема на интервале: f(x) принадл. D`(a;b)
· Значения на концах промежутков равны: f(а) = f(b)
тогда найдется хотя бы одна точка, £ принадлежащая (a;b), такая что f`(£) = 0
Теорема Лагранжа:
Пусть функция y = f(x) удовлетворяет условиям:
· f(x) принадл. C[a;b]
· f(x) принадл. D`(a;b)
тогда найдется хотя бы одна точка £ принадл. (a;b) такая что:
f`(£) = 
Найдется хотя бы 1 точка, в которой касательная, проведенная к графику будет || к хорде, п
Вопрос №25
Теорема Коши (с доказательством)
Теорема: Пусть функция y = f(x) удовлетворяет след.условиям:
· f(x) принадл. C[a;b]
· f(x) принадл. D`(a;b)
а так же существует функция g(x), которой удовлетвор. тем же условиям, а так же её производная ≠0. тогда существует точка £ из промежутка (a;b) такая, что:
Док-во:
F(x) = f(x) - 
(g(x) – g(a))
Проверим, выполняются ли условия для новой функции:
1. F(x) непрерывна на отрезке [a;b] по 1-му условию данной теоремы;
2. F(x) принадл. D`(a;b) по 2-му условию
3. F(a) = 
(g(a) – g(a))
F(a) = f(a)
F(b) = f(b) = 
(g(b) – g(b))
F(b) = f(a)
По теореме Ролля найдем хотя бы 1 точку, где F`(x) = 0:
F`(£) = 0
F`(x) = f`(x) = 
F`(£) = 
F`(
= 
Поделив обе части на нулевую производную g в точке £ получаем доказываемое равенство.
Правило Лопиталя:
Предел отношения двух бмв или ббв равно приделу отношения их производных, если последний существует:
Вопрос №?
Выпуклость функции вверх Точки перегиба функции. Необходимые и достаточные условия перегиба функции.
Направления выпуклости. Кривая называется выпуклой вверх на промежутке если для двух любых других точек этого промежутка с абсциссами из этого промежутка, соединяющая их хорда всеми своими точками лежит ниже кривой.
1. Кривая выпукла вверх на заданном промежутке тогда и только тогда, когда её первая производная на этом промежутке монотонно убывает(возрастает)
Теорема: если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна(отрицательна) внутри заданного пром-ка, то фун-я выпукло вверх(вниз)
Точка перегиба графика непрерывной функции называется точка, которая разделяет интервалы выпуклости вверх и вниз.
Теорема 1. Необходимое условие перегиба:
Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба = 0.
Теорема 2. Достаточное условие перегиба:
Если вторая производная дважды дифферен. функции при переходе через точку х0 меняет свой знак, то эта точка - точка перегиба.
Вопрос №28
