Потенциальная энергия упруго деформированного тела. Работа силы упругости.

Связь потенциальной энергии с силой взаимодействия.

Пространство, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным полем. Каждой точке потенциального поля соответствует некоторое значение силы F, действующей на тело, и некоторое значение потенциальной энергии U. Значит, между силой F и U должна быть связь, с другой стороны, dA = –dU, следовательно Fdr=-dU, отсюда:

Проекции вектора силы на оси координат:

Вектор силы можно записать через проекции:

, F = –grad U, где

 

Градиент – это вектор, показывающий направление наибыстрейшего изменения функции. Следовательно, вектор направлен в сторону наибыстрейшего уменьшения U.

3.5 Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

x(t) = Asin(ωt + φ) или x(t) = Acos(ωt + φ)

Метод вращающегося вектора

Метод вращающегося вектора амплитуды заключается в представлении гармонического колебания с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний называют методом вращающего вектора амплитуды.

Гармонические колебания одинакового направления и частоты удобно складывать, изобразив колебания в виде векторов на плоскости - графически.

1). Выберем некоторую направленную прямую - ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x.

2). Из взятой на оси некоторой точки О отложим направленный отрезок - вектор длины A, образующий с осью угол некоторый α.

3). Вращая вектор А вокруг точки О с угловой скоростью ω 0, получим, что проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени: проекция конца вектора будет перемещаться по оси x, принимая значения от - А до + A, а координата этой проекции будет изменяться со временем по

Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой. Прежде чем рассматривать сложение колебательных движений, остановимся на способе представления колебаний посредством вращающегося вектора амплитуды. Пусть гармоническое колебание можно описать уравнением: х = A cos (ωt+ φ0)

Проведем прямую линию ОХ, которую условно назовем «опорной», и построим вектор А0, численно равный амплитуде А и направленный из точки О под углом φ к опорной линии (рисунок - 1.20). Если начальная фаза положительна, то угол φ откладывается от опорной линии в сторону, противоположную вращению часовой стрелки; если начальная фаза отрицательна, то угол φ откладывается по часовой стрелке. Проекция вектора А0 на опорную линию равна смещению х0 в момент начала отсчета времени (t =0): х0 = А соsφ1. Будем вращать вектор амплитуды вокруг оси О, перпендикулярной к плоскости чертежа, с угловой скоростью ω (против часовой стрелки, если ω>0). За промежуток времени t вектор амплитуды повернется на угол ωt и займет положение, изображенное на рисунке - 1.21 вектором А. Его проекция х на опорную линию равна x = A cos (ωt +φ1)

За время T, равное периоду колебаний, вектор амплитуды повернется на угол 2π, а проекция В его конца совершит одно полное колебание около положения равновесия О. Следовательно, вращающийся вектор амплитуды полностью характеризует гармоническое колебание.

Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой. Сложение этих колебаний удобно производить, пользуясь методом векторных диаграмм. Пусть колебания заданы уравнениями: x1 = A1 cos (ωt + φ1), x2 = A2cos (ωt +φ2). Так как колебания совершаются вдоль одной прямой, то и результирующие колебания будут происходить вдоль этой же прямой. Отложим из точки O опорной линии под углом φ1 вектор амплитуды А1 и под углом φ2 вектор амплитуды А2(рисунок - 1.21). Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому угол (φ2-φ1) между ними все время остается неизменным.

Рис 1.20 рис 1.21

 

Результирующие колебания могут быть изображены вектором амплитуды А, равным сумме векторов A1 и А2: А = А1 + А2 и вращающимся вокруг точки О с той же угловой скоростью ω, что и векторы А1 и А2.. Результирующие колебания должны быть гармоническими с циклической частотой ω: х = A cos ((ωt + φ) где ^ A — амплитуда результирующих колебаний, а φ— их начальная фаза. Из рисунка - 1.21 видно, что

А2 = А12 + A22 + 2А1А2 cos (φ2 - φ1),

а начальная фаза φ определяется из соотношения tg φ = ВС/ОС, или

tg φ = (А1 sin φ1 + А2 sin φ2)/(А1 cos φ1+ А2 cos φ2)

Из выражения для амплитуда следует, что амплитуда ^ А результирующих колебаний зависит от разности начальных фаз (φ2-φ1) складываемых колебаний. Так (φ2-φ1) с течением времени изменяется, то можно получить определенное значение амплитуды А. Косинус любого угла не может быть больше (+1) и меньше (-1). Следовательно, возможные значения А заключены в пределах ±1:(А1 + А2)≥А≥(А2 - А1) Рассмотрим несколько частных случаев. Если амплитуд двух гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой, одинаковы, а их частоты мало отличаются друг от друга, то в результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Происхождение этого явления легко представить себе из следующих рассуждений. Пусть в начале колебаний совпадают по фазе и амплитуда результирующего колебания равна сумме их амплитуд. Затем второе колебание начинает отставать по фазе от первого и амплитуда результирующего колебания убывает. Когда разность фаз слагаемых колебаний достигнет определенной величины, результирующая амплитуда станет равной разности амплитуд составляющих колебаний, т. е. в рассматриваемом случае будет равна нулю. При дальнейшем увеличении разности фаз амплитуда, результирующего колебания снова возрастает и, при разности фаз, равной 2π, становится равной сумме амплитуд и т. д. (рисунок - 1.22).

 

 

Свет от одного источника с помощью непрозрачного экрана с двумя отверстиями даёт возможность получить два когерентных источника волн (схема Юнга). Расстояние между источниками (В, С) равно l. Длина волны, излучаемая источниками λ, расстояние до экрана, где наблюдается интерференция. О – центр экрана.

Пусть в точке М – экрана происходит наложение когерентных волн. Получим условие усиления и ослабления волнами друг друга. Расстояние от В источника до точки М – d1, от С до точки М – d2. Колебания точки М, вызываемые первым. источником волн: , а колебания, вызываемые 2-ым источником: , где А – амплитуда колебаний источников, ω – частота колебаний, k=2π/λ – βолновое число.

Результирующее колебание точки М:

Амплитуда колебаний точки М:

AM=2Acos(k(d2-d1)/2) зависит от положения точки на экране и может быть равной 2А, если волны усиливают друг друга или нулю, если волны ослабляют друг друга.

Получим условие усиления или максимум интерференции. Чтобы АМ=2А, необходимо чтобы

|cos(k(d2-d1)/2)|=1

Это выполняется, если

Значит d2-d1=±mλ.

Пусть d2-d1=Δd – разность хода интерферирующих лучей, а ΔФ=2π(d2-d1)/λ=2πΔd/λ – разность фаз интерферирующих волн, тогда

ΔΤ=2π/λ (d2-d1) =2π/λ Δd – ρоотношение между разность фаз и разность хода волн.

Если d2-d1=Δd=± mλ, γде m=0,1…, то АМ=2А и, следовательно, в этих точках пространства (экрана) наблюдается максимум интерференции. Разность фаз волн при этом будет равна ΔФ=±2πmλ/λ=±2πm.

Условие ослабления или минимум интерференции

Ам=0,

|cos(k(d2-d1)/2)|=0.

Это выполняется, если (k(d2-d1)/2)=±(2m+1)λ/2; следовательно

Δd=±(2m+1)λ/2.

Волны ослабляют друг друга, если разность хода при этом

ΔΤ=±2πmλ /(2λ)(2m+1)=±(2m+1)π,

m – называется порядком интерференционного максимума или минимума. В центре экрана наблюдается максимум нулевого порядка: d2-d1=Δd=0.