Пример проведения структурного анализа

Из полюса Р плана скоростей в направлении вращения кривошипа перпендикулярно к OA откладываем вектор скорости точки A, где pa - отрезок в мм (обычно длину отрезка выбирают в пределах 60-100 мм), затем определяется масштаб плана скоростей .

Построение остальных точек плана зависит от схемы механизма, в частности от присоединённых двухповодковых групп, которые можно разделить на три типа: с вращательными кинематическими парами, с вращательно-поступательными парами и с поступательньно-вращательными парами.

Сначала рассматривается двухповодковая группа, присоединённая к начальному звену, т.е. группа, которой принадлежит шарнир А. Затем определяются точки второй двухповодковой группы, присоединённой к первой и так далее до последней группы.

Построение плана скоростей рассмотрим на примере шарнирного четырёхзвенника О₁АВО₂ (Рис. 5).

Рис. 5. План скоростей и план ускорений для шарнирного четырехзвенника

К кривошипу 1 присоединена группа звеньев 2-3, состоящая из шатуна 2, совершающего плоское движение, и коромысла 3, совершающего вращательное движение. План скоростей точки А уже построен. Вектор и направлен в сторону вращения ω₁.

Для определения скорости точки В составляем векторное уравнение

в котором векторы делятся на два вида: известные по величине и направлению, и известные только по направлению.

Строим треугольник скоростей точки В, для чего из полюса плана скоростей Р проводим перпендикуляр к звену 3, а из точки а – перпендикуляр к звену 2. Точка пересечения перпендикуляров определяет положение точки b на плане скоростей, а вектор изображает вектор скорости точки В. Скорости других точек шатуна и коромысла определятся из подобия треугольников или пропорций отрезков. Так положение точки С на плане скоростей определяется пресечением перпендикуляров проведённых из точки а к звену АС, а из точки b к звену ВС. Вектор изображает вектор скорости V_с точки С. Положения точек S₂, S₃ и d определяются отрезками и ; откладываем эти отрезки на плане скоростей. Соединяем полученные точки S₂, S₃ и d с полюсом плана скоростей Р. Векторы , , изображают вектора скоростей точек S₂, S₃ и d.

Значения линейных скоростей всех точек определяются выражениями:

Значения окружных скоростей точек определяются аналогично

Величины угловых скоростей шатуна и коромысла определяются на основе построения плана скоростей

Для определения направления угловой скорости ω₂ следует мысленно перенести вектор в точку В (первая по записи точка) плана положения механизма и посмотреть куда поворачивается звено относительно точки А (вторая по записи точка). В эту сторону будет направлена угловая скорость.

Аналогично определяется направление угловой скорости ω₃.

План скоростей двухповодковой группы с вращательно-поступательными парами.

Построение плана скоростей рассмотрим на примере кривошипно-ползунного механизма (рис.6.)

Рис. 6. План скоростей и план ускорений для кривошипно-ползунного механизма

К кривошипу 1 присоединена группа звеньев 2-3, состоящая из шатуна 2, совершающего плоское движение, и ползуна 3, совершающего поступательное движение.

Из произвольной точки Р (полюса плана скоростей) в направлении вращения кривошипа перпендикулярно к OA откладываем вектор скорости точки А , где ; ;

Определяем масштаб плана скоростей

Составляем векторное уравнение скорости точки В

Строим треугольник скоростей точки В в соответствии с уравнением, для чего из точки а проводим прямую, перпендикулярную к звену 2 (линия вектора ), а через полюс Р проводим прямую параллельную ОВ (линия вектора ). Пересечение этих двух прямых определяет точку b, которая является концом вектора , изображающего на плане вектор скорости точки В. Положение других точек шатуна на плане скоростей определяется из подобия треугольников, либо из пропорции отрезков, так

Откладываем отрезок на плане, соединяем точку S₂ с полюсом Р плана и получаем вектор . Значения линейных скоростей точек определяются произведением длин отрезков на масштаб плана скоростей.

Угловая скорость вращения шатуна по величине будет равна

Направление ω₂ определяется переносом вектора в точку В плана положения механизма и вращением звена относительно точки А под действием этого вектора.

План скоростей двухповодковой группы с поступательно-вращательными кинематическими парами.

Под этой группой понимают такое соединение звеньев при котором поступательная кинематическая пара находится в плоскопараллельном движении. Построение плана скоростей рассмотрим на примере кулисного механизма (Рис. 7).

Рис. 7. План скоростей и план ускорений для механизма с двухповодковой группой

К кривошипу 1 присоединена группа звеньев 2-3, состоящая из камня кулисы 2 и кулисы 3, совершающей вращательное движение вокруг точки O₂.

Из полюса Р плана скоростей в направлении вращения кривошипа, перпендикулярно к O₁A откладываем вектор абсолютной скорости точки А₁ кривошипа

Определяем масштаб плана скоростей

Скорости точки А₂ камня кулисы равна скорости точки A₁ и равна геометрической сумме скоростей точки в переносном движении и скорости точки в относительном движении , , т.е.

Строим треугольник скоростей в соответствии с уравнением, для чего из начала вектора проводим перпендикуляр к кулисе 0₂А, а из конца вектора проводим линию, параллельную кулисе 0₂А до взаимного пересечения. Получаем точку а3. Векторы и являются векторами переносной и относительной скоростей точки А соответственно.

Величины этих скоростей будут равны

Величина угловой скорости кулисы Направление ω₃ определяется направлением вращения кулисы под действием вектора .

Определение ускорений точек и угловых ускорений

звеньев механизма

Определение линейных ускорений точек звеньев происходит в той же последовательности, что и определение скоростей. Ускорения точек определяются путём построения планов ускорений для каждого положения механизма.

Сначала определяются ускорения точек ведущего звена. Если ведущее звено совершает равномерное вращательное движение, то ускорение наиболее удалённой точки А равно нормальному ускорению и направлено по радиусу вращения к центру вращения (Рис. 5 - 7).

Из полюса плана ускорений - π откладываем вектор параллельно звену O₁A в направлении от точки А и точке 0₁ в соответствии со схемой механизма. Длина этого вектора изображает на плане ускорений вектор ускорения точки A и выбирается произвольно, исходя из удобства размещения на чертеже. (Обычно ра = 60 – 120 мм )

Определяем масштаб плана ускорений μ_W

Ускорения остальных точек плана ускорений механизма зависит от присоединённых групп Ассура.

План ускорений двухповодковой группы с вращательными

парами

Построение плана ускорений рассмотрим на примере шарнирного четырехзвенника О₁АВО₂ (Рис. 5).

Ускорение точки В складывается из ускорения точки А и относительного ускорения точки В при вращении звена 2 вокруг точки А. С другой стороны точка В принадлежит звену 3 и движется по окружности вокруг точки О₂. Таким образом, имеем систему двух векторных уравнений

Нормальные составляющие ускорений равны по величине.

и ,

где аb и pb - отрезки, взятые из плана скоростей.

Нормальное ускорение направлено вдоль звена АВ от точки В к точке А, а нормальное ускорение - вдоль звена ВО₂ от точки В к точке О₂.

Тангенциальные составляющие ускорений и по величине неизвестны, известны по направлению: ;

Решаем совместно систему уравнений графически. Из конца вектора (точки а) откладываем вектор || АВ, направленный от точки В к точке А, величина которого равна , а из полюса π откладываем вектор || ВО₂ направленный от точки В к точке О₂, величина которого равна . Затем из точки n проводим линию действия вектора , которая АВ, а из точки n₁ — линию действия вектора , которая ВO₂. На пересечении линий получаем точку b. Соединив точку b с полюсом π, получаем вектор ускорения точки В

Ускорение других точек шатуна и коромысла определяются из подобия треугольников или пропорций отрезков.

Для определения положения точки С на плане ускорений строим треугольник abc, подобный треугольнику ABC на плане положений механизма, для чего отрезок ab на плане ускорений поворачиваем вокруг точки а на угол α, а вокруг точки b на угол β, сохраняя правило обхода контура до пересечения повернутых отрезков.

Положение точек S₂, S₃ и d определяются отрезками и

Откладываем эти отрезки на плане ускорений. Соединим полученньи точки S₂, S₃, d с полюсом плана ускорений π. Векторы , , изображают векторы ускорений точек S₂, S₃, d.

Значения ускорений всех точек определяются выражениями:

Значения угловых ускорений шатуна 2 и коромысла 3 определяются следующими выражениями:

Направление углового ускорения ε₂определяется направлением вращения звена 2 вокруг точки А под действием вектора касательного ускорения , приложенного в точке В плана положения механизма. Для данного положения ускорение ε₂направлено по часовой стрелке.

Аналогично определяется направление ускорения ε₃.

План ускорений двухповодковой группы с вращательно-поступательными кинематическими парами.

Построение плана ускорений рассмотрим на примере кривошипно-ползунного механизма (рис. 6).

Из полюса плана ускорений πоткладываем вектор ускорения точки А кривошипа.

Ускорение точки В находим по уравнению

Нормальное ускорение точки В вокруг точки А величине равна . Из конца вектора ускорения точки А откладываем вектор || ВА, направленный от точки В к точке А, величина которого равна . Затем из точки n проводим линию действия касательного ускорения , которая АВ, а из полюса плана ускорений πпроводим линию || ускорению (горизонтальная линия). На пересечении линий получаем точку b. Получаем вектор ускорений точки В - .

Ускорения любой точки шатуна определяются аналогично определению скоростей точек на плане скоростей.

Угловое ускорение шатуна ε₂ определяется аналогично тому, как это было сделано ранее.

План ускорений двухповодковой группы с поступательно-вращательными кинематическими парами.

Построение плана ускорений рассмотрим на примере кулисного механизма (Рис. 7).

Первой точкой ускорение которой следует определить, является точка А₁ ведущего звена (кривошипа OA). Из полюса плана ускорений πоткладываем вектор параллельно звену AO₁ в направлении от точки А к точке О.

Следующая точка А₂, принадлежащая камню кулисы. Ускорения точек А₁ и А₂ будут равны (шарнирное соединение), т.е. .

Точка А2 совершает сложное движение её ускорение складывается из ускорений точки A3 (переносное движение точки) и ускорения точки А₂ при движении звена 2 по звену 3 (относительное движение точки), т.е.

Поскольку траекторией движения точки А₃ является окружность, то переносное ускорение точки A₃ состоит из двух частей , где

Поскольку звено 3 совершает вращение вокруг неподвижной оси, то относительное ускорение точки состоит из двух частей: , где - кориолисово ускорение точки. Величина ускорения Кориолиса равна

Для определения направления ускорения Кориолиса следует вектор относительной скорости повернуть на 90° в сторону вращения, обусловленного угловой скоростью ω₃. Итак:

Строим план ускорений точки А₂ согласно уравнению.

Из полюса плана скоростей π откладываем вектор || О₂А,направленный от точки А к точке О₂, размер которого определяется , а из точки n проводим линию действия вектора , которая O₂А. Далее из конца вектора (точки a₁₂) откладываем вектор O₂А, направленный к точке a (вектор должен подходить к точке a), размер которого определяется . Затем из точки К проводим линию действия вектора , которая || O₂А. На пересечении линий получаем точку a₃ Соединяя точки πи a₃, получим ускорение точки . Значения ускорений определяется из выражений:

Величина углового ускорения ε₃ определяется по выражению:

Направление ε₃ определяется направлением вращения звена 3 вокруг точки О₂ под действием вектора ускорения приложенного в точке А плана положения механизма. Для данного положения механизма ускорение ε₃ направлено против часовой стрелки.

Графическое определение длин отрезков нормального и Кориолисова ускорений на плане ускорений

Нормальное и кориолисово ускорения можно определить путём вычисления по формулам. Однако для построения плана ускорений важно знать не сами ускорения, а длину выражающих их отрезков. Например, длина вектора, выражающего в масштабе нормальное ускорение точки А равна

или

где (ab) - отрезок на плане скоростей; AB - отрезок на плане положений.

Величина повторяется при вычислении каждого нового ускорения и её можно вычислить заранее. Целесообразно выбирать так, чтобы указанная величина была равна некоторому круглому числу или, ещё лучше, единице.

Тогда и вычисления значительно упрощаются.

Более наглядны и практически безошибочны графические способы вычисления, в качестве примера на рис. 8 построен отрезок n.

Рис. 8. Вычисление ускорений

Берётся произвольный угол, на одной её стороне откладывается отрезок АВ, снятый из плана положений, и на обеих сторонах отрезок ab = ab, снятый с плана скоростей. Точка В и b соединяются прямой линией, а через b проводится прямая, || Вb до пересечения с прямой ab в точке X. Отрезок ах и является искомым.

Аналогично построение отрезка С ; выражающего Кориолисово ускорение масштабе . Отрезки ра₃ и аa₃ снимаются с плана скоростей, отрезок O₂A с плана положений. Построения нормальных и кориолисовых ускорений выполняются на листе и снабжаются соответствующими заголовками.

Кинетостатический расчет механизма

Расчет производится для 2 положений механизма в следующей последовательности:

Задачей силового анализа является:

1) Определение сил инерции звеньев.

2) Определение давлений в кинематических парах.

3) Определение уравновешивающей силы на ведущем звене.

Известными являются геометрические размеры звеньев, закон движения ведущего звена, внешние силы и моменты.

Силовой анализ механизмов имеет важное значение, так как по найденным давлениям в кинематических парах подбираются подшипники, производится расчет на прочность и жесткость звеньев механизмов, элементов кинематических пар и т.д.

Силовые исследования выполняются в следующем порядке:

1) Структурным анализом определяют номер семейства кинематической цепи, степень подвижности, класс и порядок механизма.

2) Кинематическим анализом определяют скорости и ускорения точек и звеньев механизма.

3) Собственно силовой анализ начинают с последней группы Ассура. При силовом исследовании механизма используется принцип Даламбера, согласно которому звено или группа звеньев механизма рассматриваются в состоянии равновесия, если к внешним силам и моментам, действующим на них, добавить силы и моменты сил инерции. Уравнения равновесия в этом случае называют уравнениями кинетостатики.

Решая задачу силового анализа механизма в курсовом проекте (работе), рекомендуется, сделав следующие допущения: силы трения в кинематических парах малы, ими следует пренебречь; ведущее звено исполнительного механизма (кривошип) вращается с постоянной угловой скоростью (ω₁= const); звенья механизма имеют плоскость симметрии параллельную плоскости их движения, определить:

1) силы полезного сопротивления для всех положений;

2) давление во всех кинематических парах в указанных положениях механизма;

3) уравновешивающий момент в указанных положениях механизма двумя методами (методом плана сил и методом Н. Е. Жуковского: полученные результаты сравнить (расхождение вычисленных уравновешивающих моментов должно быть в пределах 5 %).

Внешние нагрузки, действующие на звенья механизма

Основными силами являются движущие силы, совершающие положительную работу и силы полезного сопротивления, возникающие в процессе выполнения работы и совершающие отрицательную работу.

К движущим силам F_д относятся: сила давления рабочей смеси на

поршень цилиндра двигателя; момент, развиваемый электродвигателем на выходном валу насоса или компрессора и т.д.

Силами полезного сопротивления F_c является: силы сопротивления резанию в токарном или строгальном станках, силы сопротивления сжимаемого воздуха и т.д.

Внешние силы могут быть постоянными по величине, такие как, например силы тяжести, силы сопротивления резанию металла при постоянном сечении снимаемой стружки. Они могут зависеть от положения звена, на которое они действуют (силы давления газов, действующие на поршень двигателя внутреннего сгорания или компрессора); от скорости (момент электродвигателя); от времени и т.д.

Значения внешних воздействующих должны быть заданы соответствующими механическими характеристиками. Механические характеристики представляют собой аналитические или графические зависимости внешних сил (моментов) от кинематических параметров (обобщенной координаты, обобщенной скорости, времени). Имея характеристику механизма, можно определить силы механизируемого процесса, приложенные к выходному звену или силы движущие, приложенные к входному звену. Например, если представлена индикаторная диаграмма изменения давления газов в цилиндре двигателя (компрессора), то силу можно рассчитать по формуле: где - давление приходящееся на 1 мм² площади поршня.

Силы тяжести звеньев механизма прикладываются в центрах тяжести звеньев и по величине равны где - ускорение свободного падения; - масса - го звена.

Силы инерции звеньев плоских механизмов

Звено совершает поступательное движение (рис. 9). Силы инерции точек звена заменяются главным вектором сил инерции , приложенным в центре тяжести звена, равным по величине произведению массы звена на ускорение центра масс звена и направленным в сторону, противоположную ускорению центра масс . Равнодействующая сил инерции звена совпадает в этом случае с главным вектором сил инерции ;

Звено совершает вращение вокруг оси с постоянной угловой
скоростью . Главный вектор сил инерции приложен
в центре масс звена, направлен по радиусу кривизны ОА от центра кривизны О и равен . Равнодействующая сил инерции равна главному вектору сил инерции, т.е ;

Звено вращается с переменой угловой скоростью . В этом случае силы инерции точек звена проводятся к главному вектору сил инерции , приложенному в центре масс и к главному моменту сил инерции , направленному против углового ускорения звена , где - момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс. Главный вектор сил инерции и главный момент сил инерции могут быть заменены равнодействующей сил инерции , векторно-равной главному вектору () и приложенной в центре качания звена , положение которого определяется зависимостью

Звено совершает плоскопараллельное движение. Силы
инерции точек звена проводятся к главному вектору сил инерции,
приложенному в центре масс звена и к главному моменту сил инерции относительно центра масс: ; . Главный вектор сил инерции и главный момент сил инерции могут быть заменены равнодействующей сил инерции , векторно равной главному вектору ()и приложенной в центре инерции, положение которого видно из
построения (рис). Линия параллельна ускорению полюса . Линия КТ параллельна относительному ускорению .

Рис. 9. Определение сил инерции звеньев

Последовательность силового анализа механизмов по способу планов сил

Силовой расчет целесообразно проводить в следующей последовательности:

Вычертить кинематическую схему механизма в выбранном масштабе и в заданном или указанном преподавателем расчетном положении (желательно в пределах рабочего хода).

Определить все внешние силы, приложенные к звеньям механизма: изобразить характеристику рассматриваемой машины (индикаторная диаграмма, график зависимости силы полезного сопротивления от положения ползуна), определить силу полезного сопротивления для всех положений (в пояснительной записке составить таблицу этих сил)

Построить или перенести с первого листа курсового проекта план ускорений для рассматриваемого положения механизма, указать на схеме направления угловых ускорений и вычислить силы и моменты сил инерции.

Приложить в виде стрелок без масштаба в соответствующие точки кинематической схемы силу полезного сопротивления, силы тяжести, силы и момента сил инерции. К входному звену (кривошипу) приложить уравновешивающий момент при приводе механизма от электродвигателя, направив его по движению звена, или уравновешивающую силу , чтобы был обеспечен заданный закон движения ведущего звена.

Произвести расчленение кинематической схемы механизма на группы Ассура и группу начальных звеньев, изобразить каждую группу отдельно и нанести все приложенные силы и моменты, заменив действие «отброшенных» звеньев реакциями, приложенными к элементам кинематических пар.

Произвести силовой расчет каждой группы Ассура в отдельности, так как группа Ассура являются статически определимой системой. Расчет следует начинать с группы Ассура присоединенной к механизму при его образовании в последнюю очередь; затем перейти к следующей группе и так до тех пор, пока не будет произведен силовой расчет всех групп, образовавших ведомую часть механизма.

В заключение производится силовой расчет ведущего звена, в результате которого определяется идеальный уравновешивающий момент и также нормальная реакция со стороны стойки на кривошип.

Определение уравновешивающего момента (силы) методом Н. Е. Жуковского

При решении задач (например, определения мощности двигателя) часто бывает необходимо определить только уравновешивающий момент (силу). Для решения этой задачи удобно применять метод Н. Е. Жуковского (рис. 10)

Н.Е. Жуковский сформулировал теорему, которая гласит: если силу, приложенную к какой либо точке звена плоского механизма, перенести параллельно себе в одноименную точку повернутого на 90° плана скоростей, то момент этой силы относительно полюса плана скоростей будет пропорционален ее мощности.

Согласно общего уравнения динамики системы (принципа Даламбера-Лагранжа) чтобы механическая система, на которую изложены совершенные, голономные, удерживающие связи, находилась в равновесии необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ (мощностей) всех заданных сил и сил инерции на возможном перемещение системы равнялась нулю, т.е или . Согласно теореме Н.Е. Жуковского общее уравнение динамики системы равносильно уравнению моментов всех активных сил и сил инерции относительно полюса повернутого на 90° плана скоростей, т.е