Рассмотрим непустое множество элементов, которые будем обозначать через x, y, z, … и множество действительных чисел. На этом множестве введем две операции (сложение и умножение). Пусть эти две операции подчиняются аксиомам:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
V; x, y, z, … 
V
Множество V с двумя операциями, удовлетворяющее аксиомам называется линейным пространством.
Элементы линейного пространства называются векторами, обозначаются 
, 
, 
. Существует единственный нулевой элемент, для каждого элемента существует единственный противоположный.
Линейная зависимость и независимость системы векторов. Пусть имеется n векторов.
Составим линейную комбинацию:
, если 
система n векторов – линейно-зависима.
Если среди n векторов какие-то k линейно-зависимы, то вся система векторов является линейно-зависимой.
Если система n векторов линейно-независима, то любая часть из этих векторов будет тоже линейно-независимой.
Размерность и базис линейного пространства. Пусть система n векторов линейно-независима, а любая система n+1 векторов – линейно-зависима, тогда число n называют размерностью пространства. dimV=n
Система этих n линейно-независимых векторов называется базисом линейного пространства. Рассмотрим систему n+1 векторов. 
Такое представление называется разложение по базису, а числа 
называют координатами вектора.
Разложение любого вектора в выбранном базисе - единственно.
Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
n – мерное пространство.
Vn – базис, состоящий из n векторов.
В пространстве есть базисы 
Введем матрицу перехода от 
к 
.
Евклидово пространство. Длина вектора. Угол между векторами.
Рассмотрим линейное пространство V, в котором уже есть 2 операции (сложение и умножение). В этом пространстве введем еще одну операцию. Она будет удовлетворять следующим аксиомам.
1. 
2. 
3. 
4. 
Указанная операция называется скалярным произведением векторов. N – мерное линейное пространство с введенной операцией скалярного произведения, называется Евклидовым пространством.
Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня и скалярного квадрата.
Длина вектора удовлетворяет следующим условиям:
1. 
, если 
2. 
3. 
- неравенство Коши-Буня
4. 
- неравенство треугольника
13.Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.
1. 
2. 
3. 
4. 
