Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.

Матрицы. Линейные операции над ними и их свойства.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины.

Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие элементы.

Матрица, у которой число строк и столбцов равно – называется квадратной.

Матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Умножение матриц. Транспонирование. Свойства.

Операция умножения возможна, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк другой матрицы.

где

1.

2.

3.

4.

Матрица, полученная заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной, к данной.

1.

2.

 

Определители матриц. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.

1.

2.

3.

 

Для нахождения определителя более высокого порядка, матрицу приводят к треугольному виду и считают произведение элементов на главной диагонали.

Свойства:

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий два одинаковых или пропорциональных ряда, равен нулю.

4. Общий множитель элементов можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы какого-либо ряда представляют собой сумму элементов, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6. Определитель не изменится, если прибавим ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

7. Определитель равен сумме элементов, умноженных на соответствующее им алгебраическое дополнение.

8. Сумма произведения элементов одного ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.

 

Разложение определителя по элементам ряда. Теорема замещения.

Определитель равен сумме произведений элементов на соответствующее им алгебраическое дополнение.

Берем любые N чисел и умножим на алгебраическое дополнение какой-либо строки.

 

Обратная матрица. Достаточное условие существования обратной матрицы.

1.

2.

3.

Для того чтобы матрица имела обратную достаточно того, чтобы она была невырождена.

 

Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.

1. Перестановка местами 2 параллельных рядов матрицы.

2. Умножение элементов ряда матрицы на число отличное от нуля, отличное от нуля.

3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

Из элементов стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-ого порядка. Наибольший из порядков таких миноров называется рангом матрицы.