Многогранные поверхности. Многогранники

 

Поверхность, образованная частями попарно пересекающихся плоскостей, называется многогранной.

Их элементами являются грани, ребра и вершины.

Отсеки плоскостей, образующие многогранную поверхность, называются гранями, линии пересечения смежных граней - ребрами, точки пересечения не менее чем трех граней - вершинами.

Если каждое ребро многогранной поверхности принадлежит одновременно двум ее граням, ее называют замкнутой (рис. б, г), в противном случае - незамкнутой (рис. 2.3.10, а, в).

Многогранная поверхность называется пирамидальной, если все ее ребра пересекаются в одной точке – вершине (рис. а). Пирамидальная поверхность имеет две неограниченные полы.

Многогранная поверхность называется призматической, если все ее ребра параллельны между собой (рис. г).

Геометрическое тело, со всех сторон ограниченное плоскими многоугольниками, называется многогранником. Простейшими многогранниками являются пирамиды и призмы.

 

Среди других видов многогранников следует выделить - призматоиды и правильные многогранники (тела Платона).

Призматоидом называется многогранник, у которого верхнее и нижнее основания – многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а боковые грани представляют собой треугольники или трапеции.

Существует пять правильных многогранников:

Тетраэдр (четырехгранник) - ограничен четырьмя равносторонними и равными треугольниками.

Гексаэдр (шестигранник, или куб) - ограничен шестью равными квадратами.

Октаэдр (восьмигранник) - ограничен восемью равносторонними и равными треугольниками.

Додекаэдр (двенадцатигранник) - ограничен двенадцатью равносторонними и равными пятиугольниками.

Икосаэдр (двадцатигранник) - ограничен двадцатью равносторонними и равными треугольниками.

Вокруг всех правильных многогранников можно описать сферу.

Если все грани многогранника расположены по одну сторону плоскости любой его грани, многогранник называется выпуклым.

 

КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Кривые поверхности широко применяются в различных областях науки и техники при создании различных технических форм или как объекты инженерных исследований. Существуют три способа задания кривых поверхностей:

Аналитический - при помощи уравнений;

При помощи каркаса;

Кинематический, т.е. перемещением линий в пространстве.

 

Составлением уравнений поверхностей занимается аналитическая геометрия; она рассматривает кривую поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению.

При каркасном способе задания кривая поверхность задается совокупностью некоторого количества линий, принадлежащих поверхности. В качестве линий, образующих каркас, как правило, берут семейство линий, получающихся при пересечении поверхности рядом параллельных плоскостей. Этот способ применяется при проектировании кузовов автомобилей, в самолето- и судостроении, в топографии и т. п.

При кинематические способы образования и задания кривых поверхностей каждая кривая поверхность рассматривается как совокупность последовательных положений образующей линии l, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Образующая линия при своем движении может оставаться неизменной, а может и менять свою форму.

Закон перемещения образующей линии, как правило, задается при помощи направляющих линий и алгоритма перемещения образующей по направляющим.

Кривые поверхности разделяются на линейчатые и нелинейчатые,закономерные и незакономерные.

Поверхность называется линейчатой, если она может быть образована перемещением прямой линии, в противном случае - нелинейчатой.

Если поверхность может быть задана каким-либо уравнением, она называется закономерной, в противном случае - незакономерной, или графической (задается только чертежом).

Закономерные поверхности, в зависимости от вида уравнения, разделяются на алгебраические и трансцендентные.

Алгебраическое уравнение n-й степени (в декартовых координатах) задает алгебраическую поверхность n-го порядка (трансцендентные поверхности порядка не имеют).

Примерами кривых поверхностей второго порядка могут служить поверхности, образованные вращением кривых второго порядка вокруг одной из своих осей. Поверхности второго порядка пересекаются с произвольной плоскостью по кривым второго порядка, а с прямой - в двух точках.

Примером поверхности четвертого порядка может служить тор.

Наибольшее применение в технике получили кинематические кривые поверхности с образующими постоянной формы:

1. Линейчатые поверхности:

а) развертывающиеся;

б) неразвертывающиеся;

в) винтовые.

Поверхности вращения.