В аддитивной модели, тыс. чел.

t	yt	St	T + E = = yt – St	T	T + S	E = = yt – (T + S)	E^2
	846,88	–133,07	979,95	925,60	792,53	54,35	2953,67
	1076,22	177,96	898,26	978,12	1156,08	–79,86	6377,07
	1133,13	187,08	946,05	1027,48	1214,56	–81,43	6630,68
	790,92	–231,97	1022,89	1073,69	841,72	–50,80	2580,59
	1014,24	–133,07	1147,32	1116,75	983,68	30,56	934,02
	1416,31	177,96	1238,35	1156,65	1334,61	81,70	6674,08
	1543,72	187,08	1356,64	1193,41	1380,49	163,23	2 6644,08
	1065,47	–231,97	1297,44	1227,01	995,04	70,43	4959,98
	1110,89	–133,07	1243,97	1257,46	1124,39	–13,50	182,36
	1438,42	177,96	1260,46	1284,76	1462,72	–24,30	590,65
	1405,85	187,08	1218,76	1308,91	1495,99	–90,14	8125,34
	1061,41	–231,97	1293,38	1329,91	1097,94	–36,53	1334,16
	1175,26	–133,07	1308,33	1347,75	1214,68	–39,42	1553,92
	1485,96	177,96	1307,99	1362,44	1540,40	–54,44	2963,89
	1410,58	187,08	1223,5	1373,98	1561,06	–150,48	2 2644,68
	1371,04	–231,97	1603,01	1382,37	1150,40	220,64	4 8682,23

 

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т + Е) с помощью линейного тренда.

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространённых способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчёт некоторых основных показателей.

Выбор наилучшего уравнения тренда можно осуществить путём перебора основных форм тренда, расчёта по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и выбора уравнения тренда с максимальным значением этого коэффициента.

Для этого необходимо в среде MS Excel рассчитать уравнение линейного тренда для всех его форм. Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным методом наименьших квадратов, используя в качестве независимой переменной время t = 1, 2,..., n, а в качестве зависимой перемен­ной – выровненный тренд (Т + Е). Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Чтобы построить линейный тренд, необходимо воспользоваться специальной функцией MS Excel «ЛИНЕЙН» (см. рис. 7.3). Выделяем ячейку В20, заходим в «Мастер функций» и выбираем «ЛИНЕЙН». В появившемся диалоговом окне напротив строки «Известные значения у» записываем соответствующие значения Т + Е, напротив строки «известные значения х» – номер квартала. Чтобы программа вывела дополнительную статистику по тренду, напротив строки «Статистика» необходимо набрать – ИСТИНА, затем нажать ОК. Далее выделить на листе MS Excel диапазон В20:С24, нажать клавишу F2, затем одновременно нажать клавиши CTRL + SHIFT + ENTER (рис. 7.3).

 

 

Рис. 7.3. Построение линейного тренда

 

Таким же образом рассчитать значения для всех форм тренда. Исключение составляет функция экспоненциального тренда. Для определения соответствующего ей коэффициента детерминации необходимо воспользоваться функцией «ЛГРФПРИБЛ». В остальных случаях действовать аналогично для функции «ЛИНЕЙН».

Результаты расчетов приведены на рис. 7.4.

 

 

Рис. 7.4. Рассчитанные формы тренда с дополнительной статистикой

 

Таблица 7.5

Скорректированный коэффициент детерминации

По основным формам тренда

 

Форма тренда
Линейный	0,6661
Экспотенциальный	0,6762
Степенная функция	0,464
Логарифмическая	0,68
Параболическая	0,6961

 

В нашем случае скорректированный коэффициент детерминации принимает максимальное значение по параболическому уравнению тренда, в котором свободным членом b будет число, находящееся в первой строке под данными количества перевезенных пассажиров железнодорожным транспортом, первым зависимым элементом m₁ – среднее значение, расположенное под порядковым номером квартала, а вторым зависимым элементом m₂ – первое значение строки, находящееся под квадратичными величинами номера квартала. Номер квартала t в этом случае является множителем зависимого числа. Таким образом, уравнение тренда имеет следующий вид:

 

. (7.2)

 

Подставив в это уравнение значения t = 1, …, 16, найдём уровни Т для каждого момента времени (гр. 5 табл. 7.4). График уравнения тренда приведён на рис. 7.5.

 

 

Рис. 7.5. Количество перевезенных пассажиров (фактические, выравненные и полученные по аддитивной модели)

 

Шаг 5. Найдём значения уровня ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (Т + S) представлены на рис. 7.5.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчёт ошибки производится по формуле E = Y – (T + S). Это абсолютная ошибка.

Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок:

 

, (7.3)

 

где – среднее арифметическое количества перевезенных пассажиров.

В нашем случае коэффициент равен 0,696. Это означает, что аддитивная модель на 69,6 % объясняет общую вариацию количества перевезенных пассажиров по кварталам за 4 года.

Прогнозирование по аддитивной модели осуществляется в следующем порядке. Предположим, что требуется дать прогноз потребления электроэнергии в течение ближайшего следующего года.

Прогнозное значение F_t уровня временного ряда в аддитивной модели в соответствии с соотношением Y = T + S + E есть сумма трендовой и сезонной компонент: F_t = Tt + S_i.

Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда, а значения сезонной компоненты были рассчитаны на начальном этапе.

Таким образом, прогнозные значения перевезённых пассажиров будут иметь следующий вид:

;

;

;

.

Значения сезонной компоненты:

S₁ = –133,07 (I квартал);

S₂ = 177,96 (II квартал);

S₃ = 187,08 (III квартал);

S₄ = –231,97 (IV квартал).

Таким образом:

;

;

;

.

F = 1254,54 + 1567,65 + 1575,7 + 1152,43 = 5550,32.

7.3. Исходные данные

 

Необходимо рассчитать тренд и спрогнозировать количество перевезенных пассажиров филиалом ОАО «ФПК» на основе наблюдений в течение 10 лет и сделать выводы по результатам табл. 7.5.

Таблица 7.5