Методы поиска условного и безусловного экстремума

Целевой функции

Характер зависимости критерия оптимальности от оптимизируемых параметров определяет выбор того или иного математического метода оптимизации – математического аппарата нахождения экстремальных значений функции нескольких переменных.

При разработке алгоритмов расчета оптимальных параметров следует иметь в виду следующее: удобство программирования, возможности ЭВМ (время счета, объем оперативной памяти).

При создании вычислительных модулей, которые могли бы использоваться при математическом моделировании теплотехнологической установки, следует руководствоваться блочным принципом разработки алгоритмов и программ, ориентируясь на создание систем автоматизированного проектирования установок.

Для анализа степени влияния различных факторов на критерий оптимальности могут использоваться сами математические модели, на которых можно провести серию расчетов для оценки различных зависимостей и связей. Связи параметров, наиболее сильно влияющие на критерий оптимальности, дополнительно детализируются. Второстепенные связи параметров, влияющие на критерий оптимальности в пределах допустимой погрешности, могут описываться приближенно, Варьируемые параметры в этом случае фиксируются на определенных значениях.

Таким образом, можно либо, не изменяя существенно размеров математической модели, понизить погрешность, или уменьшить размеры модели для той же погрешности расчета, величина которой может быть оценена по результатам моделирования на более сложной модели.

Задача оптимизации состоит в выборе величин управляемых (внутренних) параметров, имеющих определенную степень свободы, принадлежащих допустимой области изменения их значений и обеспечивающих минимум критерия оптимальности при заданных внешних параметрах.

В зависимости от числа управляемых параметров, структуры допустимой области изменения их значений и вида критерия оптимальности задача оптимального проектирования приводится к различным классам математических моделей принятия оптимального решения в рамках введенной модели. Математические методы оптимизации позволяют осуществить этот вычислительный процесс наиболее эффективным способом. Однако эффективность решения будет определяться правильностью выбора метода оптимизации. Если целевая функция дифференцируема, то используются аналитические или численные методы, в остальных случаях – численные методы.

В математическом плане в работах по оптимизации, выполненных в последние годы, наряду с современными методами находят применение два старых: метод вариантных расчетов с целью определения лучшего варианта из числа рассматриваемых и метод нахождения экстремума функции при приравнивания нулю частных производных величин расчетных затрат по оптимизируемым параметрам для получения экстремальной точки.

На первый взгляд создается впечатление, что вариантные расчеты позволяют обеспечить высокую точность определения оптимальных параметров по сравнению с аналитическими методами. Но поскольку современные теплотехнологические установки характеризуются большим числом взаимосвязанных параметров, существенным недостатком метода вариантных технико-экономических расчетов является большая трудоемкость, связанная с большим объемом вычислительных работ. Следовательно, вариантными расчетами трудно определить оптимальные параметры, поскольку при этом неизбежны отклонения от действительного оптимума. В результате при больших возможностях современных вычислительных машин, объем решаемой задачи в части числа оптимизируемых параметров и учитываемых факторов при использовании метода вариантных расчетов оказывается ограниченным.

В практике оптимизации получили распространение аналитические методы, основанные на установлении непосредственных зависимостей критерия оптимума от искомых параметров. Аналитические методы оптимизации позволяют сравнивать различные варианты и схемы теплотехнологической установки при оптимальном соотношении между всеми параметрами каждого из сравниваемых вариантов. Такую оптимизацию нельзя осуществить, если нет математически описанных зависимостей между оптимальными значениями всех взаимосвязанных параметров. Кроме того, аналитические методы дают возможность относительно легко выявить влияние отдельных факторов, выделить среди них наиболее существенные и определить возможности целесообразного упрощения расчетов.

Один из классических математических методов решения экстремальных задач – метод поиска оптимума путем решения системы нелинейных уравнений, полученных при приравнивании нулю частных производных минимизируемой функции по оптимизируемым параметрам.

Если функция цели З (Х_1, Х_2, ……., Х_n) выражается аналитически и ее экстремум находится внутри области изменения параметров, то экстремальное значение функции можно найти, приравняв нулю ее частные первые производные и решив уравнения:

(1)

то есть непрерывная функция З (Х _1, Х _2, ………. Х _n) от независимых переменных Х _1, Х _2, ………,_.Xn достигает максимума или минимума внутри области только при таких значениях переменных Хi, для которых n частных производных (1) одновременно обращаются в нуль.

Если критерий оптимальности является функцией одной переменной, то необходимое условие минимума запишется в виде одного уравнения:

(2)

При комплексной аналитической оптимизации нескольких параметров (Х₁, Х ₂, Х ₃, Х ₄ и т.д.) выбранный критерий оптимума дифференцируется отдельно по каждому независимому от других параметров. Так технико-экономически наиболее выгодное решение при n независимых параметрах дает система, состоящая из n уравнений:

(3)

Данная система уравнений обеспечивает учет взаимосвязи оптимумов искомых параметров. Основная трудность при решении такой оптимальной задачи указанным методом исследования функций классического анализа возникает вследствие того, что система уравнений (1) или уравнение (2), получаемые в результате их применения, обеспечивает лишь необходимые условия оптимальности. Поэтому полученные решения должны быть проверены на достаточность. Для этого нужно или найти вторую производную от целевой функции по оптимизируемому параметру и убедиться, что она положительна, или провести дополнительные расчеты в окрестностях экстремальной точки. В результате такой проверки сначала отбрасывают решения, которые не определяют экстремальные значения параметров, а затем среди остающихся экстремальных решений выбирают решение, удовлетворяющее условиям оптимальной задачи, то есть наибольшему или наименьшему значению критерия оптимальности в зависимости от постановки задачи.

Рассмотренный метод используется уже давно для решения различных задач оптимизации.

На основании опыта многочисленных расчетов и проведенных исследований многими авторами по аналитической оптимизации параметров теплоэнергетических установок и их отдельных узлов можно утверждать, что учитывать следует только главные связи между параметрами, существенно влияющие на результаты оптимизации. Мелкие второстепенные зависимости можно опускать, предварительно убедившись в том, что они практически не влияют на точность расчетов. Этот вывод можно применять и к решению задачи комплексной оптимизации теплотехнологической установки.

Во многих случаях оптимальные параметры при проектировании теплотехнологической установки точно осуществить невозможно по конструктивным или по другим техническим ограничениям. В этом случае принимаемые оптимальные действительные значения параметров будут отличаться от расчетных. При этих условиях необходимо рассчитать величину перерасхода затрат, вызванных отклонениями искомого параметра от его оптимума.

При решении задачи оптимизации теплотехнологической установки существует дополнительная трудность. Она состоит в том, что в рассматриваемой области изменения параметров может быть не один, а несколько минимумов. Точки наименьшего значения целевой функции обычно называют локальными. Первый найденный минимум целевой функции может не быть абсолютным. Для того, чтобы установить, что найденный оптимум является абсолютным, необходимо вычислить значение минимизируемой функции во всех подозреваемых на глобальный экстремум точках и сравнить их со значением функции цели для данного варианта, то есть все эти точки исследовать на экстремум. Метод исследования оказывается тем эффективнее, чем больше имеется информации о технической сущности решаемой задачи, о поведении минимизируемой функции и о структуре допустимой области изменения параметров.