Поверхности второго порядка в пространстве

Построение поверхностей в трехмерном пространстве средствами MS Excel 2010.

Цель работы: Изучение графических возможностей пакета MS Excel 2010. Приобретение навыков построения поверхностей в трехмерном пространстве средствами пакета.

В этой лабораторной работе мы рассмотрим плоскость, а также поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус второго порядка.

Плоскость

Любое линейное уравнение определяет плоскость и, наоборот, уравнение любой плоскости есть уравнение первой степени.

Уравнение вида:

называется общим уравнением плоскости.

Важные частные случаи уравнения плоскости возникают при равенстве нулю некоторых из коэффициентов А, В, С и D. Если D = О, то уравнение

определяет плоскость, проходящую через начало координат.

Если А =О, то уравнение

определяет плоскость, параллельную оси Ох; если А= D =, то уравнение

определяет плоскость, проходящую через ось Ох, если А=В=0, то уравнение

определяет плоскость, параллельную плоскости Оху; если А=В=D =0, то уравнение

Cz = 0 (или z = 0) определяет координатную плоскость Оху.

Существует также ряд уравнений, определяющих плоскости, обладающие специальными свойствами:

1. Уравнение плоскости в отрезках:

где а,b,с — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат с учетом знака.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку :

3..Уравнение плоскости, проходящей через три точки

В MS Excel с помощью диаграмм можно построить плоскость. Необходимо ввести точки плоскости в рабочую таблицу, вставить диаграмму, задав ее тип, диапазоны данных и подписей оси х, ввести названия осей.

Пример 1. Рассмотрим построение плоскости в Excel на примере уравнения . Пусть необходимо построить часть плоскости, лежащей в I квадранте (х Î [0; 6] с шагом = 0,5, у Î [0; 6] с шагом = 1).

Решение. Вначале необходимо разрешить уравнение относительно переменной z. В примере z = х + 2у + 1.

Введем значения переменной х в столбец А. Для этого в ячейку А1 вводим символ х. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (0). В ячейку A3 вводится второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (0,5). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А14).

Значения переменной у вводим в строку 1. Для этого в ячейку В1 вводится первое значение переменной — левая граница диапазона (0). В ячейку С1 вводится второе значение переменной — левая граница диапазона плюс шаг построения (1). Затем, выделив блок ячеек В1:С1, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки H1).

Далее вводим значения переменной z. В ячейку В2 вводим ее уравнение — =$А2+2*В$1+1. Обращаем внимание, что символы $ предназначены для фиксации адреса столбца А — переменной x: и строки 1 — переменной у. Затем автозаполненнем (протягиванием вправо) копируем эту формулу вначале в диапазон В2:Н2, после чего — в диапазон ВЗ:Н14 (протягиванием вниз).

В результате должна быть получена следующая таблица (рис. 1).

Построим диаграмму. Выделим диапазон данных (без значений х и у). Выберем вкладку Вставка – Диаграммы – Другие - Проволочная поверхность.

Приведите вид получившейся диаграммы как показано на рисунке:

Упражнения

1. Построить плоскость, параллельную плоскости Оху и пересекающую ось Oz в точке М(0, 0, 2). Диапазоны изменения переменных х и у.хÎ [0;6] с шагом = 0,5, уÎ [0; 6] с шагом = 1.

2. Построить плоскость, отсекающую на координатных осях отрезки а = 3, b= 2 и с = 1. Диапазоны изменения переменных х и у: хÎ [-1; 4] с шагом = 0,5, у Î [-1; 3] с шагом = 1.

3. Построить плоскость, проходящую через точки М(3,3,1), М₂(2,3,2), М₃(1,1,3). Диапазоны изменения переменных х и у: хÎ [-1; 4] с шагом = 0,5, у Î [-1;3] с шагом = 1.

Поверхности второго порядка в пространстве

Общее уравнение поверхностей второго порядка имеет вид уравнения второй степени:

Ах² + By² + Cz² + 2Dxy + 2Eyz + 2Fzx + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0.

Причем коэффициенты А, В, С, D, E, F немогут быть равны нулю одновременно.

Частными случаями уравнения являются основные поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоид и параболоид.

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением:

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипсоида. Эллипсоид представляет собой замкнутую овальную поверхность, обладающую тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Для построения эллипсоида в Excel каноническое уравнение необходимо разрешить относительно переменной z (представить в виде z = f(x, у)).

Пример 2. Рассмотрим построение эллипсоида в Excel на примере уравнения:

Пусть необходимо построить верхнюю часть эллипсоида, лежащую в диапазонах: х Î [-3; 3], у Î [-2; 2] с шагом = 0,5 для обеих переменных. Решение. Вначале необходимо разрешить уравнение относительно переменной z. В примере

Создайте таблицу значений данной зависимости, введя, а затем копируя, в ячейки B14:J26 формулу =КОРЕНЬ(1-$A2^2/9-B$1^2/4):

Приведем вид получившейся диаграммы как показано на рисунке:

Гиперболоид

Существует два вида гиперболоидов: однополостные и двухполостные.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

Однополостный гиперболоид имеет вид бесконечной трубки, расширяющейся в обе стороны от горловины.

Двухполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая уравнением

Двухполостный гиперболоид представляет собой поверхность, состоящую из двух отдельных полостей, каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши. Указанные уравнения называются каноническими уравнениями гиперболоидов. Для построения гиперболоида в Excel канонические уравнения, как и в случае с эллипсоидом, необходимо разрешить относительно переменной z (представить в виде z = f(x, у)).

Пример 3. Рассмотрим построение двухполостного гиперболоида вида

Пусть необходимо построить верхнюю часть гиперболоида, лежащую в диапазонах: х Î[-3; 3], у Î[-2; 2] с шагом = 0,5 для обеих переменных.

Решение. Вначале необходимо разрешить уравнение относительно переменной z. В примере

Создайте таблицу значений данной зависимости, введя, а затем копируя, в ячейки B14:J26 формулу =КОРЕНЬ(1+$A2^2/9+B$1^2/4):

Приведем вид получившейся диаграммы как показано на рисунке:

Параболоид

Существует два вида параболоидов: эллиптические и гиперболические.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

Эллиптический параболоид имеет вид бесконечной выпуклой чаши. Он обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Точка, с которой совмещено начало координат, называется вершиной эллиптического параболоида; числа р и q называются его параметрами.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая уравнением

Гиперболический параболоид имеет форму седла. Он обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Точка, с которой совмещено начало координат, называется вершиной гиперболического параболоида; числа р и q называются его параметрами.

Пример 4. Рассмотрим построение гиперболического параболоида вида

Пусть необходимо построить часть параболоида, лежащую в диапазонах: х Î [-3; 3], у Î [-2; 2] с шагом = 0,5 для обеих переменных.

Решение. Вначале необходимо разрешить уравнение относительно переменной z. В примере

Создайте таблицу значений данной зависимости, введя, а затем копируя, в ячейки B14:J26 формулу =КОРЕНЬ($A2^2/18-B$1^2/8):

Приведем вид получившейся диаграммы как показано на рисунке:

Конус второго порядка

Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

Конус образован прямыми линиями (образующими), проходящими через начало координат (вершина конуса). Сечение конуса плоскостью, не проходящей через начало координат, дает эллипс.

В Excel построение конуса второго порядка аналогично построению других поверхностей, рассмотренных ранее.

Упражнения

1. Построить верхнюю часть эллипсоида:

Диапазоны изменения переменных х и у.х Î[-2; 2] с шагом = 0,5; yÎ [-3; 3] с шагом = 1.

2. Построить верхнюю часть однополостного гиперболоида:

Диапазоны изменения переменных х и у.х Î [-3; 3] с шагом = 0,5,у Î[-4; 4] с шагом = 1.

3. Построить эллиптический параболоид:

Диапазоны изменения переменных х и у:х Î[-2; 2] с шагом = 0,5, у Î [-3; 3] с шагом = 1.

4. Построить верхнюю часть конуса

Диапазоны изменения переменных х и у. х Î [-2; 2] с шагом = 0,5, у Î[-3; 3] с шагом = 1.