Модулированные колебания и их спектры

 

Одна из основных функций радиотехнических устройств – передача сигналов с использованием радиоволн. Радиоволны эффективно излучаются такими излучателями, размеры которых соизмеримы с длиной волны. Поэтому конкретные излучатели – антенны – узкополосные. Отношение полосы эффективно излучаемых частот к средней частоте полосы всегда меньше единицы. Кроме того, из-за ограниченности размеров реально применяют излучатели только высокочастотных колебаний.

С другой стороны, сигналы, получаемые от источников информации (речевые, телевизионные), - широкополосные, т. е. видеосигналы. Ширина полосы частот спектра соизмерима со средней частотой. Кроме того, спектры видеосигналов содержат низкочастотные составляющие, поэтому такие сигналы без преобразования их спектра не могут быть переданы по радиоканалам.

Для передачи сигнала нужно произвести модуляцию. Под модуляцией в радиоэлектронике понимается процесс, при котором один или несколько параметров несущего колебания изменяются по закону передаваемого сообщения. Получаемые в процессе модуляции колебания называют радиосигналами. В аналоговых системах связи радиосигналы передаются непрерывно во времени, и при модуляции могут изменяться амплитуда, частота или фаза несущего гармонического колебания. В зависимости от того, какой из названных параметров несущего колебания подвергается изменению, различают два основных вида аналоговой модуляции: амплитудную и угловую. Последний вид модуляции, в свою очередь, разделяется на частотную и фазовую.

В современных и перспективных цифровых системах связи, радиолокации, радионавигации, радиотелеуправления применяются и будут применяться различные виды импульсной модуляции, при которой радиосигналы представляются в виде так называемых радиоимпульсов.

Радиосигналы с амплитудной модуляцией. В процессе осуществления амплитудной модуляции несущего колебания

U_н(t)=U_нcos(ω_ot+φ_o)=U_нcosψ(t), (1.1)

его амплитуда должна изменяться по закону:

U_н(t)=U_н+k_Ae(t), (1.2)

где U_н – амплитуда в отсутствии модуляции; ω_о – угловая (круговая) частота; φ_о – начальная фаза; ψ(t)= ω_ot+ φ_о – полная (текущая или или мгновенная) фаза; k_A – безразмерный коэффициент пропорциональности; e(t) – модулирующий сигнал.

Подставив формулу (1.2) в (1.1), получим общее выражение для АМ – сигнала

u_AM(t)= U_нcos(ω_ot+φ_o)=[ U_н+k_Ae(t)]cos(ω_ot+φ_o) (1.3)

 

Обратимся к простейшему виду амплитудной модуляции – однотональной, когда модулирующий сигнал представляет собой гармоническое колебание

e(t)=E_ocos(Ωt+θ_o), (1.4)

где Е_о – амплитуда; Ω=2π/Т₁ – круговая частота; Т₁ – период; θ_о – начальная фаза.

Для упрощения выкладок примем начальные фазы несущего колебания и модулирующего сигнала φ_о=0 и θ_о=0. Тогда, подставив формулу (1.4) в (1.3), получим выражение для АМ-сигнала

u_AM(t)=(U_н+k_AE_ocosΩt)cosω_ot. (1.5)

Обозначив через ∆U=k_AE_o максимальное отклонение амплитуды АМ-сигнала от амплитуды несущей U_н и проведя несложные преобразования, запишем

u_AM(t)= U_н(1+МcosΩt) cosω_ot, (1.6)

где М=∆U/ U_н – коэффициент или глубина амплитудной модуляции.

 

Спектр АМ-сигнала. Используя в выражении (1.6) тригонометрическую формулу произведения косинусов, получим

u_AM(t)= U_нcosω_ot+ cos(ω_o+Ω)t+ cos(ω_o-Ω)t. (1.7)

Из этой формулы видно, что при однотональной модуляции спектр АМ-сигнала состоит из трех высокочастотных составляющих. Первая из них представляет собой исходное несущее колебание с амплитудой U_н и частотой ω_о. Вторая и третья составляющие характеризуют новые гармонические колебания, появляющиеся в процессе амплитудной модуляции и отражающие передаваемый сигнал.

Колебания с частотами ω_o+Ω и ω_o-Ω называются соответственно верхней и нижней боковыми составляющими. Амплитуды боковых составляющих одинаковы, равны MU_н/2, и расположены симметрично относительно несущей частоты сигнала ω_о. Ширина спектра АМ-сигнала при однотональной модуляции ∆ω_АМ=2Ω=4πF, где F – циклическая частота модуляции.

Графики несущего колебания с φ_о=90^о, модулирующего сигнала с θ_о=90^о и АМ-сигнала показаны на рис.1.1, а…в, а на рис1.1, г…е – соответствующие им спектры. При отсутствии модуляции (М=0) амплитуды боковых составляющих равны нулю и спектр АМ-сигнала переходит в спектр несущего колебания (составляющая U_н на частоте ω_о). При М 1 амплитуда АМ-сигнала изменяется в пределах от минимальной U_мин=U_н(1-М) до максимальной U_макс=U_н(1+М). Исключая постоянное значении U_н получаем формулу, удобную для экспериментального определения коэффициента модуляции:

 

М= . (1.8)

 

Рис.1.1. Амплитудная моду- ляция: а – несущее колебание; б – АМ-сигнал; г…е – соответствующие спектры.

 

Если же М>1, то возникают искажения, называемые перемодуляцией. Наличие этих искажений в АМ-сигнале может привести к потере передаваемой информации.

На практике однотональные АМ-сигналы используются либо для учебных, либо для исследовательских целей. Реальный же модулирующий сигнал имеет сложный спектральный состав. Математически такой сигнал, состоящий из N гармоник, можно представить тригонометрическим рядом

e(t)= . (1.9)

В этом соотношении амплитуды гармоник сложного модулирующего сигнала E_i произвольны, а их частоты образуют упорядоченный спектр Ω₁< Ω₂…< Ω_i< …<Ω_N. Подставляя (1.9) в (1.3), после несложных выкладок получим выражение АМ-сигнала с начальной фазой несущего φ_о=0.

u_AM(t)= U_н(1+ (1.10)

где M_i=k_AE/U_н – совокупность парциальных (частичных) коэффициентов модуляции. Эти коэффициенты характеризуют влияние отдельных гармонических составляющих сложного модулирующего сигнала на общее изменение амплитуды полученного высокочастотного модулированного колебания.

Воспользовавшись тригонометрической формулой произведения двух косинусов и проделав несложные выкладки, запишем выражение (1.7) в следующем виде:

u_AM(t)= U_нcosω_ot+ (1.11)

Из этого соотношения видно, что в спектре сложного АМ-сигнала, наряду с несущим колебанием, содержатся группы верхних и нижних боковых составляющих, являющихся масштабными копиями спектра модулирующего сигнала и расположенных симметрично относительно несущей частоты ω_о. Отсюда следует важный вывод: ширина спектра сложного АМ-сигнала равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего сигнала Ω_N. В качестве примера на рисунке 1.2. показаны спектральные диаграммы трехтонального (состоящего из трех разных гармоник) модулирующего сигнала S_e(ω) и соответ ствующего ему АМ- сигнала S_AM(ω).

а) б)

 

Рис.1.2. Спектральные диаграммы при трехтональной модуляции:

а – модулирующего сигнала; б – АМ-сигнала.

Пример 1.1. Определить спектральный состав и записать аналитическое выражение АМ-сигнала

u_AM(t)=20(1+0,5cos10³t)cos10⁵t.

Решение. Используя формулу (1.6), находим, что несущая частота ω_о=10⁵; частота модуляции Ω=10³; боковые частоты ω_о+Ω=1,01∙10⁵; ω_о-Ω=0,99∙10⁵; амплитуда несущей U_н=20В; коэффициент модуляции М=0,5. Следовательно, в соответствии с выражением (1.7) имеем:

u_AM(t)=20cos10⁵t+5cos(1,01∙10⁵t)+5cos(0,99∙10⁵t).

 

C помощью несложного энергетического анализа можно показать, что значительная доля мощности АМ-сигнала (не менее50%) сосредоточена в несущем колебании, которое фактически не переносит никакой информации. Передаваемая же полезная информация (сообщение) заложена только в боковых составляющих радиосигнала, на долю которых приходится менее 50% мощности. Поэтому для более эффективного использования мощности передатчика радиотехнических систем передачи информации создают АМ-сигналы с подавленным несущим колебанием, реализуя так называемую балансную амплитудную модуляцию (БМ). Выражение для радиосигнала с балансной амплитудной модуляцией нетрудно получить из (1.7), она имеет следующий вид:

U_БМ(t)= cos(ω_o+Ω)t+ cos(ω_o-Ω)t. (1.12)

В современных системах связи часто приходится экономить не только мощность, но и полосу занимаемых частот. С этой целью формируют АМ-сигналы с подавленной верхней (или нижней) боковой полосой частот, получая колебание с одной боковой полосой (ОБП)

U_ОБП(t)= U_нcosω_ot+ cos(ω_o-Ω)t. (1.13)

Другой, еще более эффективный с точки зрения энергетических показателей, разновидностью АМ-сигналов является однополосная амплитудная модуляция с подавленной несущей (ОБП-ПН):

U_ОБП-ПН(t)= cos(ω_o-Ω)t. (1.14)

Данный вид амплитудной модуляции представляет собой такое преобразование несущего колебания, при котором спектр радиосигнала полностью совпадает со спектром сообщения, перенесенным по оси частот в высокочастотную область нижней или верхней боковой полосы.

Лекция №6.

Радиосигналы с угловой модуляцией. Обратимся к модулированным сигналам, полученным путем изменения по закону передаваемого сообщения в несущем колебании (1.1) частоты ω_о, или начальной фазы φ_о. Поскольку в обоих случаях аргумент гармонического колебания Ψ(t)= ω_оt+ φ_о определяют мгновенное значение фазового угла, такие радиосигналы получили название сигналов с угловой модуляцией. Если в несущем колебании изменяется частота ω_о, то имеем дело с частотной модуляцией (ЧМ), если же изменяется начальная фаза φ_о – фазовой модуляцией (ФМ).

Частотная модуляция. При частотной модуляции частота несущего колебания ω(t) связана с модулирующим сигналом e(t) зависимостью

ω(t)=ω_j+k_чe(t), (1.15)

где к_ч – размерный коэффициент пропорциональности между частотой и напряжением [рад/В∙с].

Рассмотрим однотональную частотную модуляцию, когда модулирующим сигналом является гармоническое колебание e(t)=E_ocosΩt. Примем для упрощения начальную фазу несущего колебания φ_о=0. Полную фазу ЧМ-сигнала в любой момент времени t определим путем интегрирования частоты, выраженной через формулу (1.15):

Ψ(t)= = = ω_оt+(ω_д/Ω)sinΩt, (1.16)

где ω_д =k_дЕ_о – максимальное отклонение частоты от значения ω_о, или девиация частоты. Отношение

m_ч= ω_д/Ω=k_чE_o/Ω, (1.17)

являющееся девиацией фазы несущего колебания, называют индексом частотной модуляции. С учетом (1.16) и (1.17) выражение для ЧМ-сигнала запишется следующим образом:

u_чм(t)=U_нcosΨ(t)=U_нcos(ω_ot+m_чsinΩt) (1.8)

 

На рис.1.3. представлены временные диаграммы соответственно несущего колебания u_н(t) и модулирующего сигнала e(t) с начальными фазами φ_о=θ_о=90^о и полученный в результате процесса частотной модуляции ЧМ-сигнала u_чм(t).

 

 

 

Рис.1.3. Частотная однотональная модуляция:

а – несущее колебание; б – модулирующий сигнал; в – ЧМ-сигнал.

 

Фазовая модуляция. В фазомодулированном напряжении полная фаза несущего колебания изменяется пропорционально модулирующему сигналу

Ψ(t)= ω_ot+k_фe(t) (1.9)

где k_ф – размерный коэффициент пропорциональности [рад/В].

При однотональной модуляции фаза несущего колебания:

Ψ(t)= ω_ot+k_фЕ_оcosΩt (1.20)

Из этой формулы следует, что как ив случае частотной модуляции, полная фаза несущего колебания при фазовой модуляции изменяется по гармоническому закону. Максимальное отклонение фазы несущего колебания от начальной фазы характеризует индекс фазовой модуляции

m_ф=k_фE_o (1.21)

Подставляя формулы (1.20) и (1.21) в (1.1), запишем ФМ-сигнал

u_фм(t)=U_нcos(ω_ot+m_фcosΩt) (1.22)

Дифференцирование формулы (1.20) дает частотуФМ-сигнала

ω(t)=ω_o-m_фΩsinΩt- ω_o- ω_дsinΩt (1.23)

где ω_д=m_фΩ= k_фE_oΩ - максимальное отклонение частоты от значения несущей ω_o, т.е. девиация частоты при фазовой модуляции.

В таблице 1.1 проведен сравнительный анализ основных параметров сигналов с частотной и фазовой однотональной модуляцией.

 

Таблица1.1

 

 

Наглядное представление о законах изменения частоты и фазы при угловой однотональной модуляции дают графические построения, показанные на рис.1.4.

 

Рис.1.4. Графики изменения частоты и фазы при угловой однотональной модуляции: а,б – модулирующий сигнал; в,г – частота; д,е – фаза.

Выражения (1.8) и (1.22) и приведенные на рисунке 1.4 соответствующие им графики показывают, что при однотональной угловой модуляции нельзя определить, является ли сигнал частотно- или фазомодулированным? Различия между этими видами однотональной модуляции проявляются только при изменении амплитуды Е_о или частоты Ω модулирующего сигнала e(t).

В случае частотной модуляции девиация частоты ω_д пропорциональна амплитуде Е_о и не зависит от частоты Ω модулирующего сигнала e(t)= Е_оcosΩt. Индекс же модуляции m_ч прямо пропорционален амплитуде Е_о и обратно пропорционален частоте Ω модулирующего сигнала. При фазовой модуляции девиация частоты ω_д изменяется пропорционально амплитуде и частоте модулирующего сигнала. Индекс модуляции ω_ф пропорционален амплитуде Е_о и не зависит от частоты Ω модулирующего сигнала.

Спектр ЧМ-сигнала при однотональной модуляции. Можно показать, что спектр ЧМ-сигнала при m_ч<<1 имеет (приближенно) вид:

u_чм(t)=U_нcosω_ot+(mU_н/2)cos(ω_o+Ω)t- (mU_н/2)cos(ω_o-Ω)t (1.24)

Сравнение соотношений (1.24) и (1.11) показывает, что спектр ЧМ-сигнала анологичен спектру АМ-сигнала и также состоит из несущего и двух боковых составляющих с частотами ω_о+Ω и ω_о-Ω. Индекс модуляции m играет здесь ту же роль, что и коэффициент амплитудной модуляции М. Единственное и принципиальное отличие – знак минус перед нижней боковой составляющей в формуле для ЧМ-сигнала, который характеризует поворот ее фазы на 180^о, что аналитически приводит к превращению АМ-сигнала в ЧМ-сигнал.

На рис.1.5 показана спектральная диаграмма для ЧМ-сигнала при индексе модуляции m<<1. Отметим, что ширина спектра в данном случае равна 2Ω, как и при амплитудной модуляции.

 

Рис.1.5. Спектральная диаграмма ЧМ-сигнала при m<<1.

 

Спектр ЧМ-синала при m>1 (не приводя выводы на основе функции J_n(m) -- Бесселя) определяется выражением:

U_чм(t)=U_нJ_o(m) cosω_ot+ U_нJ_n(m) cos(ω_o +nΩ)t+

+ (-1)ⁿU_нJ_n(m) cos(ω_o -nΩ)t (1.25)

Таким образом, спектр ЧМ-сигнала с однотональной модуляцией при индексе модуляции m>1 состоит из исходного несущего колебания и бесконечного числа боковых составляющих с частотами ω_o +nΩ и ω_o -nΩ, расположенными попарно и симметрично относительно несущей частоты ω_o. Теоретически спектр ЧМ-сигнала (анологично и ФМ-сигнала) бесконечен по полосе частот, однако в реальных случаях он ограничен. Практически ширина спектра радиосигнала с угловой модуляцией определяется:

∆ω_ум=2(m+1)Ω. (1.26)

ЧМ- и ФМ-сигналы, применяемые на практике, имеют индекс модуляции m>1, поэтому

∆ω_ум=2mΩ (1.27)

Таким образом, полоса частот, занимаемая сигналами с угловой однотоннальной модуляцией, значительно шире, чем при амплитудной. Следует отметить, что радиосигналы с угловой модуляцией имеют ряд важных преимуществ перед амплитудно-модулированными колебаниями.

1. Поскольку при угловой модуляции амплитуда модулированных колебаний не несет в себе никакой информации и не требуется ее постоянства (в отличие от от амплитудной), то практически любые вредные нелинейные изменения амплитуды радиосигнала в процессе осуществления связи не приводят к искажению передаваемого сообщения.

2. Постоянство амплитуды радиосигнала при угловой модуляции позволяет полностью использовать энергетические возможности генератора несущей частоты, который работает в этом случае при неизменной колебательной мощности. Однако для реализации этих преимуществ необходимо отводить конкретному радиосигналу слишком широкую полосу частот, значительно превышающую ширину спектра модулирующей функции.

 

Пример 1.2. Радиосигнал с фазовой модуляцией, имеющий амплитуду U_н=5В и несущую частоту f_o=200 МГц, промодулирован частотой F=20 кГц при индексе модуляции m=10. Записать выражение для ФМ-сигнала, определить пределы, в которых изменяется частота, и рассчитать ширину спектра.

 

Решение. Воспользовавшись формулой (1.22), запишем выражение ФМ-сигнала

U_фм(t)=5cos[4π∙10⁸t+10cos(4π∙10⁴t)].

Определим девиацию циклической частоты

F_д=ω_д/(2π)=mF=0,2 МГц.

Значит, при ФМ, мгновенная частота изменяется в пределах:

f_min=100-0,2=99,8 MГц; f_max=100+0,2=100,2 МГц.

Ширина спектра ФМ-сигнала будет

∆f_фм=∆ω_фм/(2π)=2(m+1)F=440 кГц.

 

Лекция №7.

Радиосигналы с импульсной модуляцией. При импульсной модуляции (рис.1.6) в качестве несущего колебания (точнее, поднесущего) используются различные периодические импульсные последовательности, в один из параметров которых вводится информация о передаваемом сообщении. Для дискретных сигналов процесс модуляции принято называть манипуляцией параметров импульсов.

Положим, что поднесущим колебанием в системе передачи информации с импульсной модуляцией является периодическая последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой U_н, длительностью τ_и и периодом повторения Т (рис.1.6 а). Для наглядности и упрощения выкладок выберем в качестве модулирующего сигнала гармоническое колебание вида (1.4) с начальной фазой θ_о=90^о (рис.1.6, б).

 

 

Рис.1.6. Импульсная модуляция:

а – периодическая последовательность исходных импульсов;

б – модулирующий сигнал; в – АИМ; г – ШИМ; д – ФИМ; е – ИКМ.

 

Импульсную модуляцию в зависимости от выбора изменяемого параметра модулируемой импульсной последовательности принято делить на следующие виды:

· Амплитудно-импульсную (АИМ), когда по закону передаваемого сообщения изменяется амплитуда импульсов исходной последовательности (рис.1.6, в);

· Широтно-импульсную (ШИМ), при изменению по закону передаваемого сообщения длительности (ширины) импульсов исходной последовательности (рис.1.6, г);

· Фазоимпульсную (ФИМ), или времяимпульсную (ВИМ), если по закону передаваемого сообщения изменяется временное положение импульсов (рис.1.6, д);

· Импульсно-кодовая (ИКМ) применяется наиболее широко в современной радиоэлектронике и системах связи, при которой передаваемый аналоговый первичный сигнал превращается в цифровой код – последовательность импульсов (1 – «единиц») и пауз (0 – «нулей»), имеющих одинаковую длительность (рис.1.6, е).

В качестве примера, позволяющего оценить параметры импульсно-модулированных колебаний, рассмотрим АИМ-сигнал и определим его спектр при модуляции импульсной последовательности гармоническим колебанием e(t)=E_ocosΩt.

Из-за громоздких преобразований (в том числе и по Фурье) здесь мы приведем только окончательное выражение для АИМ-сигнала:

u_FBV(t)=(1+McosΩt)A_o+(1+McosΩt) A_ncos(nω₁t+φ_n)=

=A_o+A_oMcosΩt+ A_ncos(nω₁t+φ_n)+ (1.28)

+ cos[(nω₁+Ω)t+ φ_n]+ cos[(nω₁-Ω)t+φ_n].

Из этой формулы следует, что при однотональной амплитудно-импульсной модуляции (рис.1.7) периодической последовательности прямоугольных импульсов спектр полученного сигнала содержит постоянную составляющую А_о, гармонику А_оМ частоты модуляции Ω и высшие гармонические составляющие A_n частоты следования импульсов nω₁, около каждой из которых симметрично расположены боковые составляющие с частотами nω₁+Ω и nω₁-Ω.

 

Рис.1.7. Спектр сигнала при амплитудно-импульсной модуляции.

 

В тех случаях, когда требуется передать сообщение на большое расстояние, сигналами с импульсной модуляцией модулируют, в свою очередь, высокочастотное колебание несущей частоты. Полученные подобным образом высокочастотные импульсные сигналы – радиоимпульсы – затем излучаются антенной в свободное пространство (рис.1.8).

Покажем спектр одиночного прямоугольного радиоимпульса, полученного в результате амплитудной модуляции гармонического колебания прямоугольным видеоимпульсом с амплитудой Е и длительностью τ_и (рис.1.8, а). Как было найдено выше, спектральная плотность заданного видеоимпульса определяется функцией вида sinx/x:

 

S_p(ω)= (1.29)

На рис.1.9. для наглядности показаны графики спектральных плотностей соответственно модулирующего видеоимпульса и радиоимпульса. Как нетрудно заметить из графиков на данном рисунке, спектральная плотность радиоимпульса полностью повторяет спектральную плотность модулирующего видеоимпульса. Основное отличие – сдвиг спектральной плотности радиоимпульса по оси частот на величину несущей ω_о.

 

 

Рис.1.8. Импульсные сигналы: Рис.1.9. Спектральные диаграммы:

а – видеоимпульс; б – радиоимпульс. А – видеоимпульса; б – радиоимпульса.

Лекция №8.