Скорость точки при различных способах задания движения.

Положение точки определяется пространственными параметрами: радиус-вектором, декартовыми координатами, дуговой координатой и др. Скорость точки является пространственно - временным параметром.

Скоростью точки называется кинематический параметр, характеризующий быстроту изменения положения точки в системе отсчета с течением времени.

Скорость точки при векторном способе задания движения.

Пусть движение точки относительно тела отсчета задано ее радиус-вектором r(t). Тогда, по определению, скоростью точки будет векторная производная радиус-вектора r по скалярному аргументу - времени t:

Пусть движение точки задано в декартовой системе координат Oxyz, которую считаем неподвижной, и известны кинематические уравнения движения точки: x = x(t); y = y(t); z = z(t). Используя равенство (5) в п. 26, по формуле (1) выражаем скорость точки:

Так как система координат Oxyz неподвижна, ее единичные векторы i,j,k постоянны (не меняют ни величину, ни направление), то слагаемые, содержащие производные этих векторов, равны нулю и

Проекциями вектора скорости на оси координат являются сомножители перед единичными векторами, следовательно,

Зная проекции скорости на оси координат, можно определить величину вектора скорости:

Направление вектора скорости определяется тремя направляющими косинусами: (11)

Формула (9) позволяет не только определить скорость аналитически, но и построить вектор скорости геометрически. По этой формуле вектор скорости можно представить как сумму трех взаимно перпендикулярных составляющих: (12)

где (13)

Геометрически сложив составляющие, найдем вектор скорости. При построении составляющих по формулам (21) нужно учитывать: 1) если производная координаты положительна, то направление составляющей совпадает с направлением единичного вектора координатной оси; 2) если производная отрицательна, составляющая направлена в противоположную сторону.

Нахождение скорости при естественном способе задания движения.

 

При движении точки по траектории радиус-вектор будет меняться с изменением дуговой координаты, а сама дуговая координата является функцией времени, то есть радиус-вектор является сложной функцией времени r = r (s(t)). По формуле (1) выразим вектор скорости точки: (14)

Рассмотрим вектор dr / ds. Согласно формуле (14), этот вектор направлен по касательной к траектории, так как скорость направлена по касательной, а так как при Δs 0 предел отношения длины дуги |Δs| к длине ее хорды MM1 = Δr (рис. 61) равен единице, то по модулю он равен единице. Следовательно, (15)

где является единичным вектором касательной к траектории в точке M.

Вектор всегда направлен в сторону возрастания дуговой координаты. На рис. 61 показан случай, когда Δs > 0 (дуговая координата точки больше координаты точки M1). Сам вектор Δ/Δs направлен в сторону вектора Δ, в сторону положительного отсчета дуги. Когда Δs < 0, точка M1 будет находиться ближе к началу отсчета, чем точка M, вектор Δ изменит направление, а вектор Δ/Δs будет направлен в сторону, противоположную Δ (Δs - отрицательное), то есть, по-прежнему, в сторону возрастания дуговой координаты.

Подставляя выражение (15) в формулу (14), получаем (16)

Модуль вектора скорости равен V =| |. Когда > 0, вектор скорости направлен по вектору, когда < 0, он имеет направление, противоположное вектору.

Величину часто называют алгебраической скоростью точки, считая ее проекцией вектора скорости на касательную к траектории точки.

Изгиб. Основные понятия и определения.

Весьма часто стержни подвергаются действию поперечной нагрузки или внешних пар (рис. 3.1).

 

При этом в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты, т.е. внутренние моменты, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости поперечного сечения стержня.

 

При действии такой нагрузки ось стержня искривляется.

 

Указанный вид нагружения называют изгибом. Стержни, работающие в основном на изгиб, обычно называют балками. Изгиб называют чистым, если изгибающий момент является единственным внутренним усилием, возникающим в поперечном сечении стержня.

 

Чаще, однако, в поперечных сечениях стержня наряду с изгибающими моментами возникают тоже и поперечные силы. Такой изгиб называют поперечным.

 

Если плоскость действия изгибающего момента (силовая плоскость) проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения стержня, изгиб называют простым или плоским (применяется также название: прямой изгиб).

 

Если плоскость действия изгибающего момента в сечении не совпадает ни с одной из главных осей сечения, изгиб называют косым.

 

Далее будет показано, что при плоском изгибе ось балки и после деформации остается в плоскости внешних сил - силовой плоскости. При косом изгибе плоскость деформации не совпадает с силовой плоскостью

 

 

Билет №13