Теорема Остроградского – Гаусса. Доказательство и основные следствия теоремы Остроградского – Гаусса. Теорема Стокса. Доказательство и основные следствия теоремы Стокса. Определение дивергенции и ротора векторного поля на основе интегральных формул. Примеры применения теорем Остроградского – Гаусса и Стокса.
Тема 1.5 Дифференциальные операции второго порядка
Дивергенция градиента скалярного поля. Выражение дивергенции градиента в декартовой системе координат. Оператор Лапласа (лапласиан). Равенство нулю ротора градиента скалярного поля. Равенство нулю дивергенции ротора векторного поля. Ротор ротора векторного поля. Выражение ротора ротора поля в декартовой системе координат. Тождество Грина. Примеры применения тождества Грина.
Тема 1.6 Потенциальное (безвихревое) поле
Понятие потенциального поля. Признак потенциальности поля. Определение потенциального поля по плотности источников. Уравнения Лапласа и Пуассона. Решение уравнения Пуассона. Фундаментальная формула Грина. Поведение потенциала на бесконечности. Вычисление векторного поля по известному потенциалу. Проверка потенциальности поля.
Тема 1.7 Соленоидальное (вихревое) поле
Понятие соленоидального поля. Признак соленоидальности поля. Векторный потенциал. Векторное уравнение Пуассона. Определение соленоидальности поля по заданным вихревым источникам. Проверка соленоидальности поля. Определение векторного поля по величине векторного потенциала. Теорема разложения Гельмгольца.
Раздел 2 Гравитационное поле
Тема 2.1 Уравнения силы тяжести
Понятие силы притяжения и силы тяжести. Источники гравитационного поля. Закон всемирного притяжения. Дифференциальные уравнения гравитационного поля. Интегральные аналоги дифференциальных уравнений.
Потенциал поля притяжения. Физический смысл гравитационного потенциала. Уровенные поверхности потенциала. Уравнения Пуассона и Лапласа. Потенциал и сила притяжения шара.
Тема 2.2 Двухмерное поле притяжения
Понятие двухмерного поля. Дифференциальные уравнения для двухмерного поля. Определение двухмерного поля по заданным источникам. Гармоническое двухмерное поле. Аналитическое продолжение двухмерных полей в верхнее и нижнее полупространство. Притяжение тонкого пласта. Притяжение вертикального уступа. Притяжение однородного кругового цилиндра. Разложение потенциала двухмерного поля в ряд.
Раздел 3 Общие свойства электромагнитного поля
Тема 3.1 Заряды и токи
Понятие заряда и электрического тока. Электрическая поляризация. Вектор поляризации. Связанные заряды. Ток проводимости. Плотность тока. Закон сохранения зарядов. Магнитный момент и вектор намагниченности. Ток намагничивания. Поляризационный ток. Соотношение между плотностью тока намагничивания и вектором намагниченности. Выражение для плотности поляризационного тока. Полный ток.
Тема 3.2 Уравнения электромагнитного поля
Векторы электромагнитного поля. Вектор индукции магнитного поля. Вектор напряженности электрического поля. Уравнения электромагнитного поля (уравнения Максвелла). Физическое содержание четырех уравнений Максвелла. Вектор электрической индукции. Вектор напряженности магнитного поля. Интегральные аналоги дифференциальных уравнений Максвелла.
Тема 3.3 Свойства сред
Электрическая поляризация и намагничивание сред. Закон Ома в интегральной и дифференциальной форме. Диэлектрическая и магнитная проницаемость среды. Поведение векторов на границах раздела. Граничные условия электродинамики для нормальных компонент векторов поля. Граничные условия электродинамики для касательных компонент векторов поля.
